8. Линеаризованные уравнения в конвективных координатах

8.1. Общие формулы.

Наложим на описанное выше тело в конфигурации В поле малых перемещений При этом тело переходит в конфигурацию В. Характерные величины для В будем обозначать

звездочкой сверху. Предположим, что всегда разлагается в базисах и

Каждая из величин характерных для В, получает теперь некоторое приращение. Линейную (по в) часть этих приращений обозначим «штрихом», нелинейными частями пренебрежем. Следовательно, имеем Согласно (7.3) найдем

откуда

Тензор не изменяется, имеет вид

что согласно (8.2) приведет к формуле

Поскольку тензор обратный то

Определитель переходит в определитель Приращение этого определителя является произведением его производных по

Согласно (7.9) инварианты принимают вид

Следовательно,

Тензор принимает вид

Тогда как символы Кристоффеля

Эти величины являются тензорами, хотя не тензоры. Для доказательства этого примем во внимание постоянное векторное поле

Поскольку ковариантная производная этого поля равна нулю, то

откуда

Так как выражение в скобках и являются тензорами, то и также тензор. В случае, когда , согласно (8.3)

а согласно (8.8)

Поскольку система декартова, то последнюю зависимость можно записать в виде

Тензорная зависимость (8.9) справедлива в декартовой системе, следовательно, справедлива всегда. Наконец, определим Поскольку

то, подставляя (8.5) и (8.6) в последнее равенство, найдем

Далее будем рассматривать исключительно случаи, когда массовая сила тождественно равна нулю, а следовательно, и

Согласно (7.2) ускорения равны

здесь несколько раз использована зависимость (7.3).

Согласно определению имеем

Здесь использовано (8.2). Приравнивая коэффициенты при 8, в итоге находим

В том случае, когда в не зависит от функция не зависит от времени и (8.11) приводит к формулам

Приращение является линейной частью приращения функции (7.14). Следовательно,

и согласно (8.3)

Учитывая уравнение движения (7.16) для возмущенного движения

убеждаемся, что не зависящая от в часть удовлетворяется при удовлетворении уравнения (7.16), а линейная по 8 часть равна

Подставляя в это уравнение (8.9), (8.12) и (8.14), получаем

или в операторном виде (принято

Граничные условия, соответствующие уравнению (8.17), следуют из условий, которые налагаются на перемещения и напряжения на границе В ряде случаев эти условия однородны и линейны

Они будут детально обсуждаться при рассмотрении устойчивости конкретных систем.

Представим еще важную формулу относительно линейной, части приращения вектора нормального к заданной материальной поверхности Выберем на этой поверхности два «материальных» вектора , Вовремя деформации эти векторы переходят в Нормальные векторы соответственно равны

Здесь использована формула Подставив в последнюю формулу получим

что с учетом (8.19) и (8.4), приводит к формуле

8.2. Изотропный материал.

Для изотропного материала все представленные формулы остаются справедливыми с условием, что определенные формулой (8.13), принимают специальный вид, так как функция только вследствие зависимости от инвариантов Согласно (7.17)

откуда

Величина определена формулой (8.6), а тензор формулой (8.7).

Перейдем к определению

Поскольку для В имеем следовательно, разлагая в ряд Тейлора, получаем

Вводя обозначение

находим

Формулы (8.21) — (8.25) представляют частный вид формулы (8.14).

8.3. Несжимаемый материал.

Формулы, относящиеся к конечной деформации несжимаемого материала, представлены в п. 7.4. Для нахождения линеаризованных соотношений следует применить к ним описанную выше процедуру. Для материала с произвольной симметрией согласно (7.20) имеем

где - линейная часть приращения функции Подобно функция не определяется деформацией.

Уравнение движения (8.15) справедливо и в случае несжимаемого материала. Однако к этому уравнению следует присоединить уравнение несжимаемости следующее из связей Согласно (8.5), (8.6) и (8.3) это уравнение имеет вид

Следовательно, вместо трех скалярных уравнений имеем четыре уравнения: три уравнения равновесия (8.15) и уравнение несжимаемости (8.27).

Введя четырехмерный вектор сок и операторы

запишем систему в операторном виде

Здесь аналогично предыдущему предположено, что массовые силы отсутствуют и конфигурация не зависит от времени. Как видно из анализа устойчивости упругих систем, для целого ряда нагрузок граничные условия однородны по Следовательно,

8.4. Изотропный несжимаемый материал.

Формулы для этого материала следуют из предположения, что в Однако удобнее начать вычисления с (7.21) и провести представленную выше процедуру, что приведет к формулам