21. Плоская синусоидальная волна

21.1. Фазовая и групповая скорости.

В предыдущих параграфах понятие волны было неразрывно связано с поверхностью разрыва. Однако термин «волна» может быть использован также и по отношению к таким непрерывным движениям, при которых поверхность разрыва вообще не существует. К таким движениям относится и плоская синусоидальная волна. Это движение описывается в декартовой системе координат функцией

Здесь амплитуда синусоидальной волны, а фаза. Величины с фиксированны и не зависят ни от ни от Перемещение данное формулой (21.1), в общем не может удовлетворять уравнению движения нелинейного упругого материала ни в точной, ни в линеаризованной форме. Однако оно может быть решением линеаризованных уравнений движения, если тело однородно и подвержено однородной начальной деформации. Значение решения (21.1) является результатом того, что локально всегда материал и начальная деформация однородны. В связи с этим в малой окрестности избранной точки перемещение (21.1) является решением линеаризованных уравнений движения.

В настоящем параграфе не будем заниматься динамическими условиями существования движения (21.1), а лишь проанализируем кинематическую задачу. В соответственно избранной системе координат это движение можно представить в более простом виде

В движении (21.2) фазой является Для простоты записи будем пропускать далее индекс при и при В точке

колебания гармонические и перемещения будут иметь следующий вид:

С движением (21.2) связан целый ряд разных скоростей. Кроме скорости материальной точки самой важной из них является фазовая скорость Это скорость гипотетического наблюдателя, движущегося так, что он всегда находится в точках пространства, характеризуемых одной и той же фазой:

Рис. 23

Согласно (21.4) фазовая скорость

На практике мы имеем дело с наложением целого ряда синусоидальных волн (21.2), соответствующих разным частотам, а именно с движением, определенным следующим интегралом:

где соответствующие гладкие функции частоты Функции описывают соответственно интенсивность и фазу отдельных составляющих, тогда как функция является функцией материала. Ее вид следует из подстановки (21.2) в уравнения движения.

Рассмотрим случай, когда близко а амплитуда А — непрерывная и дифференцируемая функция частоты Примем во внимание равенство Тогда

где индексом обозначены значения в точке а штрихом — дифференцирование по Интегрируя, находим

Эта функция представляет синусоидальную волну, амплитуда которой (выражение в квадратных скобках) зависит от времени и пространства (рис. 23). Итак, через точки пространства регулярно проходят группы волн с частотой

Рис. 24

Скорость этих групп (например, точки пространства, для которых выражение в квадратных скобках (21.7) равно нулю) является групповой скоростью:

С понятием группы волн неразрывно связана регулярность их появления во времени от Групповая скорость является функцией со или Она может быть больше, равной или меньше фазовой скорости. Так, например, для длинных океанских волн для коротких прибрежных волн Энергия группы волн (кинетическая и потенциальная) имеет такую форму, как огибающая перемещения (см. рис. 23). Отсюда следует равенство скорости переноса энергии и групповой скорости

21.2. Скорость сигнала.

В противоположность группе волн сигнал является коротким возникновением синусоидальных волн, таким что среда до и после прохождения сигнала остается в покое. Пусть в точке задан сигнал (т. е. вынужденное перемещение) в виде функции (рис. 24)

Для упрощения предположим, что для определенного нечетного натурального Поскольку только в конечном интервале, то может быть представлена в виде интеграла

Фурье:

где коэффициенты Фурье функции

Итак,

Подставляя в эту зависимость функцию последовательно находим

Здесь использовано равенство

Подводя подынтегральные функции к общему знаменателю, в итоге получаем

Итак, входной сигнал является суммой синусоидальных волн с частотами, изменяющимися непрерывно от до Амплитуда каждой из составляющих волн имеет вид

и является функцией Максимальную амплитуду имеют волны с частотой Она равна

При последнем преобразовании использовано правило Лопиталя определения предела дроби.

Теперь перейдем к более близкому анализу сигнала. Формула (21.15) может быть записана в комплексном виде:

или

Равноценность (21.18) и (21.19) следует из тождества

Поскольку максимальная амплитуда конечна (см. (21.17)), то интегрирование по действительной оси в (21.19) можно заменить интегрированием вдоль кривой обходящей точку (рис. 25). Далее можно заменить интегрирование вдоль кривой I интегрированием вдоль кривой На кривых подынтегральные функции не имеют особенностей. Следовательно, в интеграле

(20.19) можно интегрировать каждое из выражений отдельно:

Обратим внимание на второй интеграл. Обозначим

и передвинем путь интегрирования вверх к бесконечности. В итоге получим

Рис. 25

Для подынтегральная функция равна нулю. Следовательно,

Передвинем далее путь интегрирования вниз к бесконечности. Кривая имеет особенность в точке и функция (рис. 26)

поскольку интегралы вдоль штриховых линий взаимно уничтожаются. Через обозначена окрестность вокруг точки Для подынтегральная функция первого интеграла равна нулю. Согласно теории вычетов второй интеграл равен Таким образом,

Итак, функция представляет сигнал, передача которого начата в момент и продолжается до Поэтому представленный выше анализ позволил перейти от сигнала (21.9), который передавался только в конечное время, к более простому сигналу, начинающему поступать в момент и продолжающемуся до В случае сигнала нельзя применять Фурье-анализ. Перейдем к перемещению и которое вызвано сигналом Сигнал согласно (21.22) является суммой синусоидальных колебаний амплитуда которых равна Каждое такое колебание вызывает в точке х перемещение

(ср. 21.2) и (21.3)). Отсюда следует, что в точке х и в момент перемещение

Параметр является функцией частоты В общем даже для действительных со параметр комплексное число. Ограничим последующие рассуждения случаем, когда для действительных со параметр действителен, дополнительно полагая, что для всех частот фазовая скорость конечна и не равна нулю. Отсюда следует существование такой постоянной что

причем эта зависимость выполняется также в случае, когда заменяется на или на

Рис. 26

Передвинем путь интегрирования вверх к бесконечности; со Подынтегральная функция в (21.26) тогда будет иметь вид

Для эта функция равна нулю. Следовательно,

Передвинем далее путь интегрирования вниз до бесконечности. Путь интегрирования тогда будет огибать особую точку Следовательно, интеграл (21.26) является суммой интеграла на кривой и интеграла вокруг точки Последний интеграл равен вычету рассматриваемой функции. Поскольку подынтегральная функция на кривой имеет вид

то для интеграл вдоль равен нулю. Вычет функции равен Окончательно согласно приведенному обсуждению и формуле (21.26) имеем

Отсюда следует, что скорость сигнала равна Более подробный и общий анализ обсуждаемой задачи дан в монографии Бриллюэна [45].

21.3. Плоская синусоидальная волна в упругом материале.

Выше было показано, что если материал и деформация однородны, то в декартовых системах координат линейные уравнения движения будут иметь вид

где Обобщая (21.2), возьмем

где После подстановки этих функций в (21.30) получаем алгебраическую систему уравнений

Видна полная согласованность (21.32) с условием распространения (17.17) для . Отсюда следует

В описанном случае согласно (21.5), (21.8) и (21.27) имеем

21.4. Синусоидальная волна в волноводе.

Приведенные в пунктах 21.1 и 21.2 данные можно использовать в более сложных случаях, чем описанный выше. Рассмотрим, например, следующие поля перемещений:

где x и у — декартовы координаты. На поверхности имеем На этой поверхности также Отсюда следует, что на поверхности касательные напряжения равны нулю. Формулы (21.36) описывают поле перемещений в волноводе с плоскими и гладкими стенками

Как следует из § 4 (см. также (14.8)), для изотропного материала линеаризованная система уравнений при имеет

следующий вид:

После подстановки в эту систему функции (21.36) получаем однородную систему алгебраических уравнений относительно постоянных

Эта система имеет ненулевое решение если ее характеристический определитель равен нулю:

Отсюда

Для линейной теории упругости выражение под корнем положительно. В связи с непрерывностью функций материала можно предположить, что в окрестности естественного состояния и, следовательно, при достаточно малых начальных деформациях параметр является действительной функцией

Для перемещения (21.36) п. 21.1 можно повторить, поскольку появление функции или не влияет на ход рассуждений. Как и ранее, фазовую и групповую скорости и скорость сигнала определим формулами (21.5), (21.8) и (21.27). Два знака перед корнем соответствуют двум разным волнам, которые могут распространяться независимо друг от друга (аналогично тому как в линейной теории упругости существуют продольные и поперечные волны). Согласно (21.5) и (21.8) можно определить фазовую и групповую скорости. Объем книги не позволяет привести соответствующие формулы. Согласно (21.27) можно также определить скорость сигнала Если в формуле (21.39) принять во внимание знак минус, то получим

Простой анализ условия распространения (17.17) приводит к равенству

Анализируя (21.39), можно убедиться, что В рассмотренном случае справедливы неравенства

Если в формуле (21.39) принять знак плюс, то

21.5. Фазовая и групповая скорости в нелинейной теории упругости.

Возвратимся к бегущей волне, описанной зависимостью (18.22). Для записи перемещения в действительной форме заметим, что, заменяя в формуле (18.22) параметр со на получаем решение, сопряженное с решением (18.22). Складывая оба решения, находим действительное решение:

Подставив сюда функцию из зависимости (18.19), запишем

где сумма,

Для больших частот вектор мал по сравнению с перемещением Вводя обозначения

согласно формуле (21.44) окончательно получаем

Это решение представляет синусоидальную волну с наложенным на нее дополнительным перемещением, которое определяется полем Фазой этой волны является величина со а. Поверхности постоянной фазы

в общем не совпадают с поверхностями разрыва Скорость, с которой движется точка пересечения поверхности постоянной фазы с акустическим лучом обозначим через и назовем

фазовой. С целью определения этой скорости рассмотрим две поверхности постоянной фазы, соответствующие двум близким моментам Согласно (21.48) справедливо равенство

Принимая во внимание зависимости (18.16), получаем

На практике мы имеем дело нес волной, имеющей одну угловую частоту а с наложением волн разных частот Рассмотрим наложение двух волн (21.47) с близкими частотами Теперь перемещения определяются формулой

После преобразования (см. (21.7)) получаем

Полученное выражение представляет волну (21.47) с амплитудой, изменяющейся синусоидально в пространстве и времени. Эта амплитуда равна нулю на поверхностях

Скорость точки пересечения поверхности (21.51) с акустическим лучом групповая Для ее определения принимаем во внимание две поверхности (21.51), соответствующие двум близким моментам Согласно (21.51) получаем

Учитывая далее (18.16), окончательно находим

Поверхностям (21.48) и (21.51) соответствуют некоторые скорости в направлении их собственных нормалей, т. е. скорости распространения этих поверхностей. Они меньше скоростей

Их определение не представляет никаких трудностей. Следует подчеркнуть, что при попытке учета полей при вычислении фазовой и групповой скоростей получаем три разные скорости соответствующие трем составляющим и три скорости соответствующие трем составляющим В связи с этим эти скорости не инвариантны относительно изменения системы координат.

Перейдем к случаю, когда частота настолько большая, что можно пренебречь всеми выражениями Тогда согласно (21.46) выполняются равенства

Подставляя эти результаты в зависимости (21.49) и (21.52), получаем

Разлагая дробные выражения в ряд и пренебрегая находим тождество

Таким образом, для больших частот лучевая скорость является редним геометрическим фазовой и групповой скоростей. Для очень больших частот в (21.46) можно пренебречь В этом случае что, в свою очередь, приводит к тождеству

которое является частным случаем тождества (21.55).