Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
21. Плоская синусоидальная волна21.1. Фазовая и групповая скорости.В предыдущих параграфах понятие волны было неразрывно связано с поверхностью разрыва. Однако термин «волна» может быть использован также и по отношению к таким непрерывным движениям, при которых поверхность разрыва вообще не существует. К таким движениям относится и плоская синусоидальная волна. Это движение описывается в декартовой системе координат функцией
Здесь В настоящем параграфе не будем заниматься динамическими условиями существования движения (21.1), а лишь проанализируем кинематическую задачу. В соответственно избранной системе координат это движение можно представить в более простом виде
В движении (21.2) фазой является колебания гармонические и перемещения будут иметь следующий вид:
С движением (21.2) связан целый ряд разных скоростей. Кроме скорости материальной точки самой важной из них является фазовая скорость
Рис. 23 Согласно (21.4) фазовая скорость
На практике мы имеем дело с наложением целого ряда синусоидальных волн (21.2), соответствующих разным частотам, а именно с движением, определенным следующим интегралом:
где Рассмотрим случай, когда
где индексом
Эта функция представляет синусоидальную волну, амплитуда которой (выражение в квадратных скобках) зависит от времени и пространства (рис. 23). Итак, через точки пространства регулярно проходят группы волн с частотой
Рис. 24 Скорость этих групп (например, точки пространства, для которых выражение в квадратных скобках (21.7) равно нулю) является групповой скоростью:
С понятием группы волн неразрывно связана регулярность их появления во времени 21.2. Скорость сигнала.В противоположность группе волн сигнал является коротким возникновением синусоидальных волн, таким что среда до и после прохождения сигнала остается в покое. Пусть в точке
Для упрощения предположим, что Фурье:
где
Итак,
Подставляя в эту зависимость функцию
Здесь использовано равенство
Подводя подынтегральные функции к общему знаменателю, в итоге получаем
Итак, входной сигнал является суммой синусоидальных волн
и является функцией
При последнем преобразовании использовано правило Лопиталя определения предела дроби. Теперь перейдем к более близкому анализу сигнала. Формула (21.15) может быть записана в комплексном виде:
или
Равноценность (21.18) и (21.19) следует из тождества
Поскольку максимальная амплитуда конечна (см. (21.17)), то интегрирование по действительной оси в (21.19) можно заменить интегрированием вдоль кривой (20.19) можно интегрировать каждое из выражений отдельно:
Обратим внимание на второй интеграл. Обозначим
и передвинем путь интегрирования
Рис. 25 Для
Передвинем далее путь интегрирования вниз к бесконечности. Кривая
поскольку интегралы вдоль штриховых линий взаимно уничтожаются. Через
Итак, функция
(ср. 21.2) и (21.3)). Отсюда следует, что в точке х и в момент
Параметр
причем эта зависимость выполняется также в случае, когда
Рис. 26 Передвинем путь интегрирования
Для
Передвинем далее путь интегрирования
то для
Отсюда следует, что скорость сигнала равна 21.3. Плоская синусоидальная волна в упругом материале.Выше было показано, что если материал и деформация однородны, то в декартовых системах координат линейные уравнения движения будут иметь вид
где
где
Видна полная согласованность (21.32) с условием распространения (17.17) для
В описанном случае согласно (21.5), (21.8) и (21.27) имеем
21.4. Синусоидальная волна в волноводе.Приведенные в пунктах 21.1 и 21.2 данные можно использовать в более сложных случаях, чем описанный выше. Рассмотрим, например, следующие поля перемещений:
где x и у — декартовы координаты. На поверхности Как следует из § 4 (см. также (14.8)), для изотропного материала линеаризованная система уравнений при следующий вид:
После подстановки в эту систему функции (21.36) получаем однородную систему алгебраических уравнений относительно постоянных
Эта система имеет ненулевое решение
Отсюда
Для линейной теории упругости выражение под корнем положительно. В связи с непрерывностью функций материала можно предположить, что в окрестности естественного состояния и, следовательно, при достаточно малых начальных деформациях параметр Для перемещения (21.36) п. 21.1 можно повторить, поскольку появление функции
Простой анализ условия распространения (17.17) приводит к равенству
Анализируя (21.39), можно убедиться, что
Если в формуле (21.39) принять знак плюс, то
21.5. Фазовая и групповая скорости в нелинейной теории упругости.Возвратимся к бегущей волне, описанной зависимостью (18.22). Для записи перемещения
Подставив сюда функцию
где
Для больших частот
согласно формуле (21.44) окончательно получаем
Это решение представляет синусоидальную волну с наложенным на нее дополнительным перемещением, которое определяется полем
в общем не совпадают с поверхностями разрыва фазовой. С целью определения этой скорости рассмотрим две поверхности постоянной фазы, соответствующие двум близким моментам
Принимая во внимание зависимости (18.16), получаем
На практике мы имеем дело нес волной, имеющей одну угловую частоту
После преобразования (см. (21.7)) получаем
Полученное выражение представляет волну (21.47) с амплитудой, изменяющейся синусоидально в пространстве и времени. Эта амплитуда равна нулю на поверхностях
Скорость точки пересечения поверхности (21.51) с акустическим лучом
Учитывая далее (18.16), окончательно находим
Поверхностям (21.48) и (21.51) соответствуют некоторые скорости в направлении их собственных нормалей, т. е. скорости распространения этих поверхностей. Они меньше скоростей Их определение не представляет никаких трудностей. Следует подчеркнуть, что при попытке учета полей Перейдем к случаю, когда частота
Подставляя эти результаты в зависимости (21.49) и (21.52), получаем
Разлагая дробные выражения в ряд и пренебрегая
Таким образом, для больших частот
которое является частным случаем тождества (21.55).
|
1 |
Оглавление
|