ГЛАВА III. АКУСТИЧЕСКАЯ ВОЛНА

17. Распространение акустической волны

17.1. Поверхность разрыва.

Проведем общие рассуждения аналогично § 1—10, полагая, что системы координат декартовы. Только конечные формулы запишем в тензорном виде.

Обратим внимание на отсчетную конфигурацию Рассмотрим движущуюся поверхность определенную одним из уравнений

где параметризует поверхность . В геометрической оптике функцию называют эйконалом. Векторы касательны к Если через обозначить нормальный версор к то получим зависимости

На рис. 19 показаны два положения соответствующие моментам времени Согласно (17.2) выполняется зависимость

которая при переходе к пределу приводит к тождеству

Величина является скоростью точки поверхности параметры которой постоянны. Эта скорость зависит отвыбора параметров. Подставляя (17.3) в (17.5), убеждаемся, что проекция этой скорости на нормаль не зависит от способа параметризации. Эту проекцию обозначим через и назовем скоростью распространения поверхности Итак, имеем

Рассмотрим произвольное поле На поверхности поле может быть разрывным. На обеих сторонах поле можно

выразить как функцию

Определим сначала производные функции и в направлении, нормальном к Для фиксированного времени находим >

Вычитая полученные равенства слева и справа и обозначая скачок двойными квадратными скобками

находим

Рис. 19

В частном случае, когда непрерывно на левая часть формулы (17.8)

Сравнивая эту формулу с (17.4), получаем

где А — произвольный параметр, зависимый от Рассмотрим производные по времени функции и Наблюдатель, находящийся на движущейся поверхности в точке не видит изменение, зависимое от времени:

Здесь второе слагаемое является конвективным выражением, а первое — локальной производной. Вычитая левые и правые части последних равенств, получаем

Для не имеющего скачка на левая сторона зависимости (17.11) равна нулю. Принимая во внимание последовательно (17.11), (17.10) и (17.4), для этого случая находим

Уравнения согласованности (17.10) и (17.12) образуют основу для построения условия распространения акустической волны.