19.2. Акустический луч для несжимаемого материала.

Перейдем к выводу уравнения акустического луча. При этом будем основываться на линеаризованном уравнении движения в отличие от предыдущих рассуждений настоящего параграфа, которые были основаны на точных уравнениях (19.5).

Вывод уравнений для несжимаемого материала усложняется появлением в физических зависимостях и уравнении движения дополнительной неизвестной и дополнительного уравнения несжимаемости Для упрощения рассуждений ограничим общность, полагая, что начальная деформация не зависит от времени предположим, что декартовых системах координат линеаризованное уравнение движения (6.11) и уравнение несжимаемости следующие:

Рассмотрим поверхность заданную уравнением

Скорость этой поверхности

На поверхности по предположению вторые производные перемещения и первая производная функции разрывны. Согласно (17.10) и (17.12) скачки этих производных должны быть определены при помощи формул

где некоторые параметры. Подставляя (19.14) в уравнения (19.11), получаем

Здесь учтена непрерывность на У. Поскольку то

Отсюда следует ортогональность вектора перемещения к нормали Это подтверждает полученный ранее вывод, что в несжимаемом материале все волны поперечные. Умножая (19.15) на находим параметр определяющийся уравнением

После введения этого параметра в (19.15) получаем условие распространения:

Оно точно такое же, как полученное из точных уравнений условие распространения (19.8).

Сокращенно запишем

Система уравнений (19.11) может быть теперь записана в следующем виде:

На поверхности производные функций в направлении нормали разрывны. В связи с этим представим эти функции в следующем виде:

где функции определены формулами (18.5). Согласно (19.14) мы приняли, что первая производная разрывна. Дифференцируя функцию (19.19), получаем

Подставим записанные функции в уравнении движения и условия несжимаемости (19.11). Группируя выражения при последовательных функциях находим

Функции линейно независимы. Следовательно, каждый из коэффициентов при должен быть равен нулю. Получаем таким образом бесконечную систему уравнений относительно Два первых уравнения принимают следующий вид:

Умножая на и принимая во внимание находим

Сравнивая последнее уравнение с условием распространения (19.16), видим, что выражения в скобках пропорциональны. Если собственные значения приведенного акустического тензора различны, то

где k — скалярный параметр. Если тензор имеет два одинаковых собственных значения, то справа в (19.25) следует взять линейную комбинацию двух линейно независимых собственных векторов. Объем книги не позволяет рассматривать этот частный случай.

Приравнивая" нулю два последующих коэффициента при в (19.20) и (19.21), находим

Умножим сперва первое уравнение на Подставляя далее из второго уравнения получаем

Из подстановки в уравнение (19.26) следует

Функция определена формулой (19.23). Итак, выведенное уравнение содержит четыре неизвестных: три координаты вектора

и скаляр и. Заметим, что коэффициент при является вырожденным тензором (см. (19.24)). Обозначим через левый нулевой вектор этого тензора. Умножая (19.27) на можно, следовательно, исключить вектор и получить уравнение с одной неизвестной k. Далее можно ввести такую кривую которая приведет уравнение (19.27) к обыкновенному дифференциальному уравнению вдоль этой кривой. Несложные, но длинные общие формулы приводить здесь не будем. Вычисления те же, что и для сжимаемого материала. В § 22, представим уравнения бихарактеристики и акустического луча для несжимаемого материала, подверженного осе-симметричной начальной деформации.