11. Устойчивость сплошного шара

Рассмотрим устойчивость упругого шара, подверженного центрально-симметричной деформации. Эта задача носит не инженерный характер, а только познавательный. Полученное решение приводит к важным ограничениям на вид упругого потенциала.

На возможность потери устойчивости очень простых систем (например, полупространства) первым обратил внимание Био [8]. Такую потерю устойчивости он назвал внутренней. К этому типу устойчивости принадлежит и устойчивость шара.

11.1. Основная деформация.

Рассмотрим шар радиуса а (конфигурация Под действием внешней нагрузки шар центрально-симметрично деформируется и его радиус (конфигурация В), где X — некоторый параметр. В конфигурации В строим сферическую систему координат Тройка чисел характеризует материальную точку. Запишем ее декартовы координаты в конфигурации В:

Далее будем использовать формулы § 8, не приводя их номера.

Зависимость (11.1) позволяет определять базисные векторы метрического тензора и символы Кристоффеля

остальные

Эти величины связаны с принятой системой координат.

Согласно предположению о центрально-симметричном деформировании декартовы координаты точки в конфигурации будут следующими:

Отсюда можно определить метрический тензор а потом инварианты деформированного состояния

Для произвольного упругого материала получим тензор напряжений с составляющими

Этот тензор тождественно удовлетворяет уравнению равновесия, поскольку массовые силы равны нулю, что можно проверить подстановкой (11.8) и (11.4) в уравнения равновесия или с помощью тождества и того, что пропорционально

На поверхности нормальный версор имеет координаты (1, 0, 0). Отсюда следует, что давление необходимое для создания описанной выше деформации,

11.2. Линеаризованные уравнения.

Наложим на рассматриваемую деформацию малую дополнительную деформацию. Дополнительное перемещение Для упрощения вычислений предположим, что дополнительная деформация осесимметрична. Решение задачи для общего случая дано в работе [9]. Примем такие обозначения:

Согласно формулам § 8 получим

(см. скан)

На зависимости (11.10) — (11.14) не влияет деформированное состояние тела Подобно (11.2) — (11.4) они зависят только от введенной системы координат.

На основании формул § 8 определим приращения инвариантов и тензора напряжений:

где величина и оператор определены формулами

и

Подставляя (11.8), (11.14) и (11.16) в уравнения равновесия, получаем систему трех уравнений в частных производных:

где

Для заданного потенциала коэффициенты в системе (11.19) являются известными функциями

Прежде чем приступить к формулированию граничных условий, получим общее решение системы (11.19) для случая осевой симметрии. Представим решение системы (11.19) в виде суммы:

где сферические функции первого рода, являющиеся многочленами Лежандра функции еоьд и тождественно удовлетворяющие дифференциальной зависимости

В промежутке они образуют полную систему ортогональных функций. Первые шесть функций определены следующими формулами:

Подставляя (11.21) в уравнения равновесия (11.19), получаем систему двух обыкновенных дифференциальных уравнений:

где

Поскольку функции линейно независимы, то для выполнения (11.24) необходимо и достаточно, чтобы каждый из коэффициентов при

и был равен нулю. Итак, имеем бесконечную систему обыкновенных дифференциальных уравнений:

Общим решением этой системы (для каждого ) является функция

где С — постоянные интегрирования, а — корни характеристического уравнения

соответственно равные

Поскольку для перемещения ограничены, то выражения (11.27) не могут содержать отрицательные степени переменной Итак, следует принять

Поскольку коэффициент при равен бесконечности, необходимо дополнительно принять Окончательно вместо (11.27) получим

11.3. Условие потери устойчивости.

Рассмотрим последователь но несколько разных случаев нагружения шара.

1. Граничные условия в перемещениях. Пусть на поверхности шара выполняются условия

которые могут быть реализованы, например, посредством охвата шара достаточно жестким колпаком и деформирования шара вместе

с этим колпаком. Очевидно, что при условиях (11.32) условие самосопряжения (10.13) автоматически выполняется, поскольку равны нулю на Следовательно, шар теряет устойчивость, если существуют нетривиальные решения соответствующей краевой задачи.

Для условия (11.32) после их подстановки в (11.31) приводят к уравнениям

что дает Итак, в этом случае нет нетривиальных решений. Для получаем

Эта система уравнений всегда имеет тривиальное решение Нетривиальное решение существует, если соответствующий характеристический определитель равен нулю. После преобразования условие существования нетривиальных решений находим в виде

Итак, шар теряет устойчивость как только отношение достигнет одно из следующих значений:

Формулы (11.34) и (11.21) описывают соответствующее поле перемещений.

2. Смешанные граничные условия. Рассмотренный выше случай относился к бесконечно большому трению между шаром и колпаком. Иным предельным случаем является отсутствие трения. Тогда на поверхности шара выполнимо равенство

где неопределенный параметр. Из второго условия (11.36) следует, что вектор напряжений ортогонален к поверхности шара.

Вектор, нормальный к поверхности в состоянии равен

поскольку контравариантный вектор базиса ортогонален к соответствующей координатной поверхности.

Подставляя (11.37) в (11.36) и умножая обе стороны на находим

или на основании (11.16) имеем

Покажем, что краевая задача (11.19) и (11.39) самосопряженная. Поскольку пропорционален ), то условие (10.13) сводится к такому:

Производная

следовательно, на поверхности согласно (11.39) получаем

и условие самосопряженности (11.40) удовлетворяется тождественно. Таким образом, условием потери устойчивости является существование нетривиальных решений.

Подставляя выражения (11.21) в граничные условия (11.39) и используя (11.31), находим систему двух уравнений для двух постоянных

Условием существования нетривиальных решений является равенство нулю характеристического определителя. После преобразований получаем следующее условие потери устойчивости:

Шар теряет устойчивость, как только впервые примет одно из значений

3. Нагружение гидростатическим давлением — частный случай нагружения следящей силой. Эта сила нормальна к актуальной поверхности тела и пропорциональна площади этой поверхности. Помня, что вектор напряжений является силой, действующей

на единицу актуальной поверхности, условие нагружения гидростатическим давлением можем записать следующим образом:

где давление, определяемое по (11.9); версор, нормальный к в состоянии В и определяемый формулой (11.37). Умножая обе стороны (11.43) на с точностью до линейных выражений по получаем

что приводит после подстановки значений к граничным условиям

Соответствующая этим граничным условиям краевая задача самосопряженная. Ее легче доказать для произвольной формы, а не для шара. С учетом формулы (ср. с (8.20))

(11.43) приводится к виду

Подставляя эту зависимость в условие самосопряженности (10.13) и принимая во внимание пропорциональность находим

Заменяя поверхностный интеграл объемным, убеждаемся, что это условие удовлетворяется тождественно. Итак, условием потери устойчивости будет достижение состояния, при котором существуют нетривиальные положения равновесия.

Подставляя общее решение (11.31) в граничные условия (11.45), получаем

Характеристический определитель этой системы равен нулю, если

Итак, шар теряет устойчивость при достижении состояния, для которого

Существует много других нагрузок, изменяющих направление во время деформирования. Эти нагрузки трудно реализовать. Более того, соответствующие краевые задачи в общем не самосопряженные. Следовательно, существование нетривиальных состояний равновесия — только достаточное, но не необходимое условие потери устойчивости. В связи с этим ограничимся лишь записью основных соотношений, позволяющих определить граничные условия.

4. Следящая нагрузка, пропорциональная актуальной поверхности, имеет направление материального элемента, который в состоянии В ортогонален к и пропорционален актуальной поверхности В состоянии В материальный элемент, первоначально ортогональный к имеет направление

Тогда основное соотношение будет иметь вид

5. Постоянная нагрузка, пропорциональная актуальной поверхности имеет постоянное направление. Поэтому

6. Номинальная следящая нагрузка ортогональна актуальной поверхности и не зависит от меры этой поверхности. Следовательно,

7. Мертвая нагрузка имеет постоянные интенсивность и направление. Таким образом, удовлетворяется условие