22. Волна ускорения в цилиндре

22.1. Основная деформация.

Рассмотрим пустотелый круговой цилиндр с начальными радиусами изготовленный из несжимаемого упругого материала. Построим цилиндрическую систему координат такую, что ось совпадает с осью цилиндра. Тогда метрический тензор этой системы будет иметь вид

Тройка чисел описывает начальное положение типичной точки тела в момент Построим далее цилиндрическую систему координат в общем не совпадающую с системой Для цилиндрической системы координат метрический тензор и символы Кристоффеля определяются формулами

Положения материальных точек в мгновенном состоянии, т. е. в моменты , отнесем к системе координат

Рассмотрим начальную деформацию, определяющуюся формулами

где с — параметр, описывающий деформацию. При радиус цилиндра возрастает; при радиус цилиндра уменьшается. Формулы (22.3) описывают «инфляцию» («вздутие») цилиндра, при которой его длина не изменяется, и удовлетворяют тождественно условию несжимаемости.

Градиент деформации, тензор деформации и его инварианты, соответствующие формулам (22.3), следующие:

Представленные формулы позволяют определить производные градиента деформации, которые будут необходимы при последующих вычислениях:

В дальнейшем ограничимся рассмотрением материала Муни, для которого справедливы следующие зависимости:

Как следует из (22.3), в основном движении ускорение Поскольку деформация осесимметричная, то функция не зависит ни от ни от Единственным уравнением движения (6.7), не удовлетворяющимся тождественно, является уравнение для В зависимостях (22.7) представлены только те производные градиента деформации, которые входят в это уравнение. Подставляя (22.7) и (22.9) в уравнение (6.7), получаем обыкновенное дифференциальное уравнение относительно функций

Это уравнение можно легко решить. Мы не приводим решение, поскольку оно не является необходимым в последующем рассмотрении.

22.2. Условие распространения.

Ограничимся анализом только осесимметричной поверхности разрыва. Уравнение поверхности разрыва и ее скорость и представим в следующем виде:

Если через обозначить угол, который образует с осью нормаль к

то согласно (19.7) и (22.4) акустический тензор будет иметь следующий вид:

Далее определим приведенный акустический тензор представленный зависимостью Легкие преобразования приводят к формулам

Следовательно, приведенный акустический тензор является симметричным. Подставляя тензор в условие распространения

находим две возможные амплитуды:

определенные с точностью до скалярного множителя. Согласно приведенному в § 19 обсуждению эти амплитуды взаимно ортогональны и ортогональны нормали к поверхности разрыва Обе представляют поперечные волны, поскольку только такие волны возможны в несжимаемом материале. Дальнейшие рассуждения проведем только для амплитуды Аналогично можно обсудить и амплитуду

Для амплитуды условие распространения (22.15) после умножения на приводит к формуле

которая после подстановки (22.14) дает формулу для скорости распространения поверхности

Если начальная деформация отсутствует то и формула (22.18) приводится к виду

Скорость распространения не зависит ни от точки ни от направления распространения, заданного углом Начальная деформация обусловливает появление некоторых привилегированных направлений и выделяет точки пространства. Если (радиальное сжатие ), то для каждого имеем монотонно уменьшающаяся функция Если же (радиальное растяжение то — монотонно возрастающая функция переменной Для данного экстремальное значение и (максимум) соответствует

Подставляя (22.12) в (22.18), получаем уравнение элемента волны

Подставляя далее обозначая

находим

Нелинейное дифференциальное уравнение (22.21) решим методом малого параметра, ограничившись двумя первыми членами. В качестве малого параметра примем постоянную с, описывающую

основную деформацию (22.3). В связи с этим представим решение уравнения (22.22) в следующем виде:

Подставляя (22.23) в уравнение (22.22) и приравнивая нулю коэффициенты при всех степенях параметра с, находим

и

Рассмотрим поверхность разрыва которая в момент выражается уравнением Это соответствует продвижению в момент начально плоской поверхности разрыва в направлении оси цилиндра. Как будет показано далее, эта поверхность в меру продвижения в направлении оси подвержена деформации. Согласно высказанному предположению и уравнению (22.24) нулевое приближение принимает вид

Подставляя далее (22.26) в уравнение (22.25), получаем линейное уравнение относительно первого приближения Решением этого уравнения будет функция

где произвольная.

Поскольку для по предположению поверхность разрыва является плоскостью то Итак, с точностью до линейных выражений относительно с поверхность разрыва определена функцией

На рис. 27, а представлена кривая показывающая последовательные положения фронта волны для а на рис. 27, б те же кривые для обозначают

Соответствующая функции заданной формулой (22.28), скорость распространения

Отсюда видна зависимость этой скорости от расстояния от оси цилиндра.

22.3. Акустический луч.

Малые дополнительные деформации определяет уравнение (6.11). Подстановкой в него функций заданных формулами (22.4) и (22.9), можно получить соответствующую систему уравнений конкретной формы. Уравнения для общего вида приводить здесь не будем, поскольку рассмотрение ограничено амплитудой Итак, достаточно привести уравнение движения для следующего случая:

Рис. 27

Для перемещения (22.30) уравнение несжимаемости (6.13) удовлетворяется тождественно. Если согласно предположению об осевой симметрии взять то останется лишь уравнение

Это частный случай уравнений (15.16), если их дополнить инерционными выражениями. Используя в уравнении (22.31) зависимость

находим

где и определены формулами (22.19) и (22.21).

При выводе уравнения акустического луча не будем основываться на сложных уравнениях § 19, поскольку значительно проще можно получить их непосредственно из (22.32). Введем вместо переменных новые переменные

где определено формулой (22.28). На поверхности разрыва получим Тогда уравнение (22.31) примет следующий вид:

Согласно (22.22) коэффициент при равен нулю. Следовательно, производная может быть разрывной на поверхности После подстановки в (22.34) функции определенной формулой (22.28), находим

Поскольку определена с точностью до выражений, линейных относительно с, то в уравнении (22.35) можно пренебречь нелинейными относительно с членами.

Определим в пространстве кривую

заданную дифференциальными уравнениями

где параметр. Вектор ортогонален к поверхности а значит, и к кривой лежащей на этой поверхности.

Таким образом,

что согласно (22.22) приводит к зависимостям

Итак, параметр в последующих зависимостях можно заменить моментом времени

С точностью до линейных по с выражений зависимости (22.37) принимают следующий вид:

Уравнения (22.40) решим методом малого параметра, остановившись, как в предыдущем случае, на двух первых приближениях. Подставляя в находим

где коэффициенты произвольной точки, лежащей на Поверхность является характеристикой уравнения (22.32), а кривая его бихарактеристикой.

Продифференцируем уравнение (22.34) по Поскольку выражение в фигурных скобках равенства (22.34) равно нулю, то

Это уравнение должно удовлетворяться по обе стороны поверхности разрыва На этой поверхности скачкообразный разрыв будет только у второй производной перемещения по Следовательно, в уравнении скачков остаются три первых выражения уравнения (22.42) С учетом зависимостей (22.37) и (22.39) окончательное уравнение скачков примет следующий вид:

Если сюда подставить или то получим обыкновенное дифференциальное уравнение. Согласно (22.41) можем записать

откуда следует

где произвольный параметр, постоянный на всей кривой Поскольку во всех преобразованиях принимались во внимание только выражения, линейные относительно с, то в (22.45) коэффициентами при и высших степенях с пренебрегаем. Если в одной точке кривой справедливо на всей кривой получаем Проекция бихарактеристики на пространство" является акустическим лучом Его уравнение определено формулой (22.36) или в конкретной форме — формулой (22.41). На рис. 27 и 28 показано по одному акустическому лучу. Они не ортогональны фронту волны, т. е. к поверхности

Зависимость (22.41) позволяет определить скорость, с которой фронт волны движется вдоль луча. Это лучевая скорость

Равенство является результатом пренебрежения в вычислениях коэффициентов при . В общем, очевидно, Более подробный расчет обсуждаемого случая описан в работе [46].