13. Устойчивость несжимаемого параллелепипеда

13.1. Основная деформация.

Рассмотрим устойчивость параллелепипеда с размерами подверженного однородной деформации. Вследствие этой деформации размеры изменяются соответственно на (рис. 15). Введем параметры деформации

Временно ограничимся случаем несжимаемого материала. В связи с этим

Предположим, что конвективная система координат совпадает в В с декартовой системой координат В конфигурации декартовы координаты точки следующие:

Рис. 15

Приведенные зависимости позволяют определить метрический тензор инварианты деформированного состояния, а также тензор напряжений:

(см. скан)

Тензор тождественно удовлетворяет уравнениям равновесия если Если же то

13.2. Линеаризованные уравнения.

На тело в конфигурации В налагаем поле малых перемещений обозначая

Поскольку система координат в В декартова, то ковариантное дифференцирование является частным. Следовательно, формулы § 8 простые:

(см. скан)

Три уравнения равновесия (13.12) и уравнение несжимаемости (13.9) образуют систему четырех уравнений в частных производных с неизвестными до, Граничные условия для этих величин получаем, требуя, чтобы поверхности были свободны от нагрузки, а поверхности плоскими и нагруженными только нагрузкой, перпендикулярной к ним. Такой вид нагрузки имеет место в технически важном случае сжатия между двмя плоскими и гладкими плитами. Рассмотрим сначала поверхность На этой поверхности выполнены условия

Здесь использовано равенство Согласно предположению о перпендикулярности нагрузки находим

где скаляр, определяющий распределение нормальных напряжений. Умножая (13.14) на получаем

Условие удовлетворяется тождественно (ср. с (13.6)).

Подставляя вместо выражения (13.8), можно выразить это условие перемещениями и скаляром Аналогичная процедура приводит к граничным условиям на поверхностях Если добавить к этим условиям условие плоскости поверхностей то находим

Подставив выражения для в (13.16), получим граничные условия

Итак, состояние рассматриваемого параллелепипеда описывается однородной краевой задачей (13.12) и (13.17). При подстановке решения в (10.13) видим, что эта задача самосопряженная. Итак, потеря устойчивости наступает тогда, когда рассматриваемая краевая задача допускает существование нетривиальных решений. Последующие рассуждения в настоящем пункте необходимы для нахождения критических значений

Ограничимся случаем дополнительной плоской деформации при Из условия несжимаемости следует Более общий случай обсуждается в работе [11]. Предполагая, что удовлетворяют условию Дирихле, разлагаем их в ряды Фурье:

Подстановка (13.18) в уравнения равновесия (13.12) и уравнения несжимаемости (13.9) приводит к системе однородных уравнений. Левая часть каждого из них является суммой произведений функций или Поскольку они ортогональны, то коэффициенты при равны нулю. Таким образом, получаем системы уравнений для каждого

где

Используя третье уравнение, функцию можно выразить через а также, используя первое уравнение, выразить через

Подставляя эти выражения в получаем одно дифференциальное уравнение относительно функции

где постоянная, зависящая только от

Здесь следует подставить

Сумма для всегда непрерывная функция (ср. замечание после (13.6)) и не равна нулю. Предположим, что вторые производные непрерывны. Поэтому является непрерывной функцией

Перейдем к граничным условиям. Часть из них тождественно удовлетворяет функции (13.18). Условия (13.17), не удовлетворяющиеся тождественно, после подстановки в них (13.18) приводятся к следующим условиям:

что после исключения функций при помощи зависимостей (13.21) и введения обозначения (13.23) дает

Итак, задача отыскания критической деформации сведена к нахождению значения удлинения при котором краевая задача (13.22), (13.25) имеет нетривиальное решение.

Временно предположим Общее решение уравнения (13.22) представимо в виде

где

есть корни характеристического уравнения

Для упрощения записи здесь введено обозначение пропущен индекс при всех функциях.

13.3. Условие потери устойчивости.

Подстановка функции В (13.26) в граничные условия (13.25) приводит к системе линейных алгебраических уравнений относительно постоянных

Эта система имеет нетривиальное решение, если ее характеристический определитель равен нулю:

Простые преобразования приводят к равнозначному условию

Потеря устойчивости наступает тогда, когда или Если то ненулевое решение имеет вид

Следовательно, эта деформация антисимметрична по отношению к оси абсцисс:

Рис. 16

Если то решение представимо в виде

Следовательно, эта деформация симметрична по отношению к оси абсцисс:

Если задан материал, то (13.30) позволяет определить критическую деформацию. Например, для неогукового материала, где

соответствующий график показан на рис. (верхняя кривая соответствует антисимметричной деформации). Даже очень широкий параллелепипед теряет устойчивость при К, близком к 0,58. При сжатии потеря устойчивости имеет место для антисимметричной деформации. Соответствующая этой деформации кривая лежит ближе к , чем кривая, соответствующая симметричной деформации. Этот случай обсуждался в работе [12].

С целью изучения устойчивости при растяжении рассмотрим второе выражение условия (13.30). Разложим корни на действительную и мнимую части:

После подстановки (13.32) в (13.30) условие можно представить в виде

или, вводя параметр

в виде

Кривая для заданных размеров и материала образует однопараметрическое семейство кривых, каждая из которых соответствует некоторому Пересечение кривой одной из кривых этого семейства означает потерю устойчивости. Может существовать много таких точек пересечения. Существенной является точка, ближайшая к значению (естественное состояние). Число соответствующее этой точке, определяет число полуволн, возникающих на образце в момент потери устойчивости.

Рассмотрим сначала два предельных случая. Первый случай соответствует бесконечно длинному параллелепипеду, когда Для каждого фиксированного

Следовательно, условие (13.35) приводится к виду

Итак, бесконечно длинный параллелепипед теряет устойчивость при достижении значения — Критическое значение X для такого параллелепипеда обозначим

Второй предельный случай соответствует бесконечно короткому параллелепипеду, когда . В этом случае

а условие (13.35) будет иметь следующий вид:

Критическое значение X для такого параллелепипеда обозначим

Кривые для обоих случаев показаны на рис. 17. Им не соответствует никакое определенное значение . Поскольку то

Очевидно, могут существовать такие материалы, что или не существуют (кривые на рис. 17).

Воспользуемся условиями (13.35) для конечных размеров Функция является монотонной функцией а. Поскольку

а ограничена сверху условием (ср. с (13.34)), то все кривые лежат ниже кривой Р. Если критическая деформация для обсуждаемого образца обозначена то

Часть кривых лежит ниже кривой Однако принимая, что получаем Следовательно, всегда удовлетворяется условие

Для

функции действительны. Следовательно, расчеты на основе формулы (13.35) обоснованы.

Рис. 17

Найдем удлинение которому соответствует максимум номинального напряжения. Поскольку действительное напряжение номинальное напряжение

Дифференцируя полученное равенство по к и приравнивая нулю, получаем

Следовательно, Окончательно имеем

Можно убедиться, что условие приводит к критическим деформациям, большим, чем соответствующие уравнениям (13.33).