10. Устойчивость при конечных деформациях

10.1. Сжимаемый материал.

Основой наших рассуждений будет метод конвективных координат, описанный в § 7, так как большинство оригинальных работ по устойчивости основано на этом методе. Можно было бы опираться и на метод двухточечных полей, описанный в § 1—6. Более того, качественная сторона общих рассуждений идентична для обоих методов, поскольку основные уравнения (8.16) и (4.39) имеют одинаковую структуру.

Ограничимся случаем, когда начальные деформации не зависят от времени. Краевая задача (8.16) о малых деформациях, наложенных на конечные, имеет следующий вид:

где операторы не зависят от времени.

Перейдем к обсуждению устойчивости краевой задачи (10.1). Рассмотрим вторую часть условия 2 критерия устойчивости, предложенного в § 9. Поскольку движение свободное, перемещение может быть представлено как интеграл по со функции вида

где

является в общем случае комплексной круговой частотой. Краевая задача (10.1) принимает вид

Колебания (10.2) и скорость ограничены для всякого момента времени если

Для операторов нелинейной теории упругости всегда . В связи с этим не будем далее рассматривать условие (10.5), концентрируя внимание на

Частота со является функцией начальной деформации, поскольку и функции этой деформации (ср., например, с (8.14), где зависит от В общем состояние устойчиво. Следовательно, для имеем Если при возрастании начальных деформаций значения переходят от положительных к отрицательным, то имеет место потеря устойчивости.

Рис. 13

Рис. 12

Ближайшее состоянию состояние В, для которого обозначим через . Если в этом состоянии то (9.2) представляет колебания и говорят, что имеет место вибрационная потеря устойчивости. Если то не зависит от времени. Тогда говорят, что имеет место статическая потеря устойчивости.

Согласно первой части критерия устойчивости (условие 1) необходимо исследовать, допускает ли краевая задача

нетривиальные решения. Если такие решения существуют, то говорят, что имеет место бифуркация равновесия. Ближайшую к конфигурацию, в коюрой (10.6) допускает существование ненулевых решений, обозначим через Вбиф. Удовлетворение этой краевой задачи функцией означает, что собственное значение оператора равно нулю. Подчеркнем, что условие 2 не выполняется, если условие не удовлетворяется, если

Итак, собственные значения определяют устойчивость системы. Области устойчивости и неустойчивости показаны на рис. 12. Частота со является корнем уравнения

где собственное значение задачи (10.6). Если это собственное значение представить в виде показательной функции, то

Появление составляющей в (10.7) приводит к тому, что для одна из частот окажется в области неустойчивости. Следовательно, система устойчива только в случае, когда все собственные значения действительны и отрицательны. Состояние как правило, устойчиво, поэтому для собственные значения удовлетворяют этому условию. Во время начальной деформации собственные значения принимают значения, лежащие в плоскости (рис. 13). Потеря устойчивости имеет место в случае, когда одно из собственных значений будет удовлетворять условию При будет бифуркационная потеря устойчивости, если же то будет динамическая потеря устойчивости. Эти изменения представлены на рис. 13. Используя иной анализ, условие устойчивости также было получено в работе [6].

Рассмотрим случай, когда (10.6) является самосопряженной краевой задачей. Тогда для любых двух полей в силу определения находим

причем интегрирование распространяется на всю систему. Это равенство обобщает так называемую теорему Бетти и выражает специальные свойства системы и нагрузок на нее. Говорят, что система с такими свойствами консервативна как целое.

Примем во внимание только те поля, для которых и разложим собственное значение и собственный вектор оператора на действительную и мнимую части:

Таким образом,

Отсюда, поскольку оператор действителен, имеем

Умножим первое равенство на второе на вычтем полученные равенства и проинтегрируем. Тогда

В силу (10.8) правая часть этого выражения равна нулю. Поскольку интеграл слева больше нуля, то

Итак, собственные значения оператора удовлетворяющего (10.8), действительные. Согласно (10.7) в случае, когда оператор самосопряжен, бифуркационный критерий дает правильную оценку устойчивости системы.

Преобразуем (10.8) к более удобному виду. В случае метода конвективных координат, используя (8.16), получим

Заменим объемные интегралы поверхностными:

Первый объемный интеграл равен нулю в связи с симметрией Второй объемный интеграл равен нулю, так как (массовые силы отсутствуют и тело В находится в состоянии покоя). Третий объемный интеграл равен нулю в связи с симметрией Следовательно,

Условие самосопряженности (10.12) может быть представлено в еще более простом виде, если использовать (8.14) и обозначить через напряжения, вызванные А именно:

Это условие самосопряженности имеет исключительно удобный вид, поскольку оно выражено непосредственно граничными значениями и не зависит от симметрии материала. Впервые оно было дано в работе [7].

Условие самосопряженности принимает другой вид для метода двухточечных полей. Оператор определен уравнением дополнительного движения (4.38). Условие самосопряженности (10.8) можно записать в следующем виде:

Заменяя объемный интеграл поверхностным, находим

В связи с симметрией подынтегральная функция в объемном интеграле равна нулю. Следовательно, интеграл равен нулю. Обозначая через приращение вызванное получаем (ср. с (4.37))

При этом условие самосопряженности принимает вид

10.2. Несжимаемый материал.

Как было показано выше (ср. с (8.29)), для несжимаемого материала краевая задача имеет следующий вид:

где

Как и в случае сжимаемого материала, представим теперь до в виде интеграла от такого выражения:

что приведет к равенствам

Произведение будет относительным (по отношению к собственным значением оператора Все рассуждения, касающиеся действительной и мнимой частей и их связи с устойчивостью системы, теперь могут быть повторены без изменений.

Графики на рис. 12 и 13 относятся и к этому случаю, с той лишь оговоркой, что на рис. 13 величина относительное собственное значение.

Устойчивость системы определяет величина Если для т. е. если то , а решение краевой задачи

для критического состояния будет нетривиальным.

Краевая задача (10.20) самосопряженная, если для любых двух векторных полей удовлетворяющих краевым условиям выполняется равенство

Разложим собственное значение и собственный вектор к на действительную и мнимую части:

Следовательно,

Умножая первое уравнение на а второе на интегрируя по объему и вычитая полученные выражения, находим

Для самосопряженной задачи правая часть равна нулю (ср. с (10.21)), а следовательно, и . Собственное значение х действительно,

Условие самосопряженности (10.21) можно привести к более простому виду. Согласно (8.24) и (8.15) получим

По теореме Грина

Предположим, что и удовлетворяют условию Подобно случаю с сжимаемым материалом убеждаемся, что объемные интегралы взаимно сокращаются. Согласно (8.24) поверхностный интеграл легко выражается через а условие самосопряженности будет следующим:

Заметим, что (10.13) сводится к (10.24), если Поскольку для несжимаемого материала то условие (10.13) можно применять как для сжимаемого материала, так и для несжимаемого.