Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике 10. Устойчивость при конечных деформациях10.1. Сжимаемый материал.Основой наших рассуждений будет метод конвективных координат, описанный в § 7, так как большинство оригинальных работ по устойчивости основано на этом методе. Можно было бы опираться и на метод двухточечных полей, описанный в § 1—6. Более того, качественная сторона общих рассуждений идентична для обоих методов, поскольку основные уравнения (8.16) и (4.39) имеют одинаковую структуру. Ограничимся случаем, когда начальные деформации не зависят от времени. Краевая задача (8.16) о малых деформациях, наложенных на конечные, имеет следующий вид:
где операторы Перейдем к обсуждению устойчивости краевой задачи (10.1). Рассмотрим вторую часть условия 2 критерия устойчивости, предложенного в § 9. Поскольку движение свободное, перемещение
где
является в общем случае комплексной круговой частотой. Краевая задача (10.1) принимает вид
Колебания (10.2) и скорость
Для операторов нелинейной теории упругости всегда Частота со является функцией начальной деформации, поскольку
Рис. 13
Рис. 12 Ближайшее состоянию Согласно первой части критерия устойчивости (условие 1) необходимо исследовать, допускает ли краевая задача
нетривиальные решения. Если такие решения существуют, то говорят, что имеет место бифуркация равновесия. Ближайшую к Итак, собственные значения определяют устойчивость системы. Области устойчивости и неустойчивости показаны на рис. 12. Частота со является корнем уравнения
где
Появление составляющей Рассмотрим случай, когда (10.6) является самосопряженной краевой задачей. Тогда для любых двух полей
причем интегрирование распространяется на всю систему. Это равенство обобщает так называемую теорему Бетти и выражает специальные свойства системы и нагрузок на нее. Говорят, что система с такими свойствами консервативна как целое. Примем во внимание только те поля, для которых
Таким образом,
Отсюда, поскольку оператор
Умножим первое равенство на
В силу (10.8) правая часть этого выражения равна нулю. Поскольку интеграл слева больше нуля, то
Итак, собственные значения оператора Преобразуем (10.8) к более удобному виду. В случае метода конвективных координат, используя (8.16), получим
Заменим объемные интегралы поверхностными:
Первый объемный интеграл равен нулю в связи с симметрией
Условие самосопряженности (10.12) может быть представлено в еще более простом виде, если использовать (8.14) и обозначить через
Это условие самосопряженности имеет исключительно удобный вид, поскольку оно выражено непосредственно граничными значениями Условие самосопряженности принимает другой вид для метода двухточечных полей. Оператор
Заменяя объемный интеграл поверхностным, находим
В связи с симметрией
При этом условие самосопряженности принимает вид
10.2. Несжимаемый материал.Как было показано выше (ср. с (8.29)), для несжимаемого материала краевая задача имеет следующий вид:
где
Как и в случае сжимаемого материала, представим теперь до в виде интеграла от такого выражения:
что приведет к равенствам
Произведение Графики на рис. 12 и 13 относятся и к этому случаю, с той лишь оговоркой, что на рис. 13 величина Устойчивость системы определяет величина
для критического состояния будет нетривиальным. Краевая задача (10.20) самосопряженная, если для любых двух векторных полей
Разложим собственное значение и собственный вектор к на действительную и мнимую части:
Следовательно,
Умножая первое уравнение на
Для самосопряженной задачи правая часть равна нулю (ср. с (10.21)), а следовательно, и Условие самосопряженности (10.21) можно привести к более простому виду. Согласно (8.24) и (8.15) получим
По теореме Грина
Предположим, что и
Заметим, что (10.13) сводится к (10.24), если
|
1 |
Оглавление
|