1.2. Деформация.

Тело назовем трехмерным дифференцируемым многообразием. Точки тела можно идентифицировать при помощи трех действительных чисел Одно-однозначная функция

определяет положение всех точек тела в пространстве т. е. определенную конфигурацию тела Однопараметрическое семейство конфигурации определенное формулой

зависимое от времени является движением тела Подчеркнем, что положения в конфигурации определяются в системе координат а положения точек в конфигурации В — в системе координат Конфигурацию далее назовем отсчетной, а конфигурацию В — мгновенной.

Определим отсчетную конфигурацию Точки тела будем идентифицировать при помощи их положения в конфигурации Это позволит записать формулу (1.7) в следующем виде:

Формула (1.8) намного информативнее, чем (1.7), поскольку позволяет сравнить конфигурацию Поэтому (1.8) назовем деформацией от .

Поскольку для фиксированного функция (1.8) является одно-однозначной, то существует функция, обратная функции а именно:

Введем обозначения

Величину назовем градиентом деформации. Он является основной кинематической величиной. Покажем, что градиент деформации — двухточечный вектор. Действительно, если связи (1.1) и (1.2) определяют системы координат то деформации (1.8) в системах можем записать в виде

Из этой формулы и из определения (1.10) следует тождество

При изменении систем координат градиент деформации преобразуется согласно (1.3). Это доказывает, что он — двухточечный тензор. Индексы тензора будем поднимать или опускать, используя обычные формулы двухточечного тензорного исчисления. Например,

Тензоры не являются производными функции Из того что функция За обратна функции следуют тождества

где дельта-функции Кронекера. Величина как обратная к градиенту деформации также является двухточечным тензором.

Функция (1.8) кроме рассмотренных выше частных ковариантных производных позволяет ввести также полную ковариантную производную, определенную формулами

Эта производная — тензор, поскольку каждая из составляющих с правой стороны равенства является двухточечным тензором. Заметим, что в декартовых системах координат значение полной ковариантной производной не зависит от того, заменена ли на

в функции часть (или все ). Благодаря тензорному характеру полной ковариантной производной эта независимость имеется во всех системах координат, поскольку возникает благодаря преобразованию (1.3) именно этой независимой величины к системам

Умножим первое равенство (1.12) на Согласно второму уравнению (1.12) правая сторона равенства равна Таким же способом можно преобразовать второе равенство (1.12). Итак, имеют место важные связи

Скоростью материальной точки называют частную производную функции по времени:

(символ даже при использовании его в качестве индекса, резервируем только для времени). С целью получения определенной симметрии последующих формул скорость также обозначим через Величина х не является материальной производной по времени (определена ниже) функции так как эта функция не тензор. Скорость является двухточечным тензором (двухточечным вектором). Это следует из правила дифференцирования сложной функции. Вообще частная производная по времени тензора при фиксированных всегда является двухточечным тензором. Однако этот тензор не имеет простого физического смысла, и поэтому введем тензор виде

Величина как сумма тензоров также будет тензором. В декартовых системах координат правую сторону (1.15) получают дифференцированием функции по при фиксированных Таким образом, тензор представляет изменение тензора соответствующего фиксированной материальной точке, Очевидно, что результат (1.15) не зависит от того, заменена ли на в часть (или все) Производную (1.15) называют временной материальной производной.

Ускорение а является временной материальной производной скорости (1.14). Согласно (1.15) имеем

Вторую составляющую называют конвективным выражением.

Все введенные выше производные являются линейными и удовлетворяют правилу Лейбница. Например,