20. Точное уравнение амплитуды

20.1. Производная по перемещению.

Рассмотрим движущуюся поверхность уравнение которой имеет следующий вид:

При тех же обозначениях, что и в § 17, справедливы зависимости (20.2)

На поверхности кривые образуют двумерную систему координат. Метрический тензор этой системы представим в виде (см. приложение)

Тензор обратный к контравариантный метрический:

Двумерной системе координат соответствуют символы Кристоффеля

Согласна общей системе обозначений ковариантную производную в системе обозначим вертикальной чертой, В частности,

Тензор кривизны поверхности определен формулой

Справедливы следующие важные зависимости (см. приложение)

Рассмотрим два положения поверхности соответствующие моментам времени (рис. 22). Пусть функция, определенная на в целом пространстве Выражение

назовем производной по перемещению функции Отметим, что точка имеет иные координаты чем точка Для определения приращений этих координат согласно (20.1) справедливо приближенное равенство (см. рис. 22)

Рис. 22

Итак, после перехода к пределу находим

Умножая это равенство на и принимая во внимание формулы (20.3), (20.5) и (20.6), получаем

Рассмотрим конкретные случаи функции Если функция пространственных координат и времени то разность приближенно равна

Отсюда

Следовательно, в произвольной системе координат для

Обе составляющие справа от знака равенства являются тензорами. Таким образом, производная по перемещению функции переменных двухточечный тензор.

Рассмотрим случай, когда функция поверхностных координат и времени: в этом случае приближенно

получим

что после перехода к пределу приведет к формуле

Производная определена посредством (20.12). Подставляя эту функцию в (20.14), окончательно находим

Отметим, что производная тензора по перемещению в общем не является тензором. Это следует из факта, что базисные векторы системы в общем зависят от времени и поэтому, например, Можно ввести другую производную, которая имеет тензорные правила преобразования. Для наших целей это не обязательно, поэтому остановимся на формулах, представленных выше. Легко видеть, что производная линейна и удовлетворяет правилу Лейбница:

Определим несколько производных по перемещению, которые будут необходимы в последующих рассуждениях. Согласно (20.15) для функции получаем

Определим далее Как и выше, подчеркнем, что Так как это значительно усложняет расчеты, то предположим, что система декартова. Суммирование будем проводить по греческим индексам, независимо от того, являются они ковариантными или контравариантными. Дифференцируя зависимости (20.2) и (20.3), находим

Умножая второе уравнение на и принимая во внимание (20.7), записываем

что согласно приведет к уравнению

Подставляя из (20.16) в (20.18), последовательно получаем

Здесь частная производная выражена через ковариантную а потом использовано тождество (20.3). Последнюю зависимость можно представить в значительно более простом виде. Согласно (20.4) и выполняется тождество

Если принять во внимание зависимость то

20.2. Условия совместности второго порядка.

В § 17 были обсуждены простейшие условия совместности, относящиеся к скачкам производной произвольной функции на поверхности скачка Здесь же выведем условия совместности второго порядка, которые относятся ко вторым производным произвольной функции.

Рассмотрим поле в котором по предположению имеет место скачок на Введем обозначения

Следовательно,

Умножая последнее равенство на и принимая во внимание запишем

Вычислим производную по перемещению Согласно (20.13) находим

Аналогичная зависимость выполняется в части Вычитая левые и правые части этих зависимостей, получаем

Условия (20.21) и (20.22) приводятся к данным в § 17 условиям (17.10) и (17.12), если

Перейдем к условиям совместности для вторых производных. Подставляя в зависимость (20.21) вместо производную запишем

Поскольку правая часть этой зависимости может быть симметричной относительно то должно выполняться равенство

После умножения этого равенства на а также с учетом (20.3) и обозначений (20.20) последовательно получаем

и, наконец, после учета имеем

С целью преобразования второго выражения правой части зависимости (20.23) заметим, что согласно (20.21) справедливы равенства

Используя далее находим

Подставляя теперь (20.24) и (20.25) в зависимость (20.23), получаем первое из искомых условий совместности второго порядка

Это условие чисто геометрическое и не зависит от движения поверхности Оно выражает шесть скачков (симметрия!) через три скаляра и их производные в направлениях, касательных к

Перейдем к построению кинематических условий совместности второго порядка. Введем дальнейшие обозначения:

и подставим в зависимостях (20.21) и (20.22) вместо производную Согласно введенным обозначениям запишем

Величина В может быть выражена введенными выше величинами и производной по перемещению А именно: используя последовательно формулы (20.21), (20.13), (20.17) и (20.18), получаем

Определяя из последнего равенства 5 и подставляя в (20.28), находим искомые кинематические условия совместности второго порядка:

20.3. Волна ускорения.

Возвратимся к случаю, когда и непрерывны на Как было показано в § 17, справедливы равенства

Здесь через обозначена действительная амплитуда волны в отличие от введенного выше который был произвольным фиксированным вектором, коллинеарным Примем во внимание, что Согласно обозначениям (20.20) и (20.27) параметры будут иметь следующий вид:

Остальные величины (20.20) и (20.27) не могут быть выражены через амплитуду Подставляя в условия совместности второго порядка (20.26) и (20.29), запишем

Продифференцируем уравнение движения (17.1) по времени Тогда

где

являются функциями материала второго порядка. Они зависят только от градиентов которые по предположению непрерывны на

Уравнение (20.32) удовлетворяется по обе стороны поверхности разрыва Принимая во внимание, что функции материала непрерывны, найдем

Подставляя в это уравнение полученные выше выражения для скачков, определим искомое уравнение, управляющее амплитудой волны. Если индексом обозначить значения функции перед поверхностью разрыва, то это уравнение будет иметь следующий вид:

Уравнение (20.35) является нелинейным дифференциальным уравнением и определяет ахмплитуду Его решение в общем случае неизмеримо сложное. Частные случаи исследованы в работах [40— 44].

Приведем относительно простое решение Чена [41] для однородной статической начальной деформации. Не умаляя общности, предположим, что системы координат совпадают с декартовыми и что начальная деформация описывается формулами

Градиент деформации не зависит от координат и времени В связи с этим функции для однородного материала постоянны во времени и пространстве. Таким образохм,

Предположим, что поверхность разрыва более сложных задачах поверхность разрыва следует определить; здесь удалось ее угадать). Итак, и акустический тензор Для градиента деформации (20.37) большая часть функции, определенная формулами (5.21), равна нулю. В связи с этим акустический тензор примет следующий простой вид:

Этот тензор имеет три собственных вектора (1, 0, 0), (0, 1, 0) и (0, О, 1). Если вектор амплитуды совпадает с направлением первого из них, то волна является продольной. Введем обозначение и рассмотрим подробнее продольную волну

Теперь необходимо произвольно выбрать поверхностные параметры Поскольку параллельна плоскости то проще всего принять Так как акустический тензор не зависит от и то скорость распространения также не зависит от Уравнения поверхности разрыва общий вид которых дан формулами (17.1) и (17.2), будут иметь в этом случае следующий вид:

По условию распространения (17.18)

Согласно (20.39) производные представимы в виде

Поскольку поверхность разрыва плоская, то Благодаря этим фактам и равенству нулю вторых производных функции в уравнении (20.35) появляются выражения, равные нулю и приводимые к уравнению

Согласно введенным предположениям относительно поверхности производная амплитуды по перемещению следующая:

Если ввести обозначение

то уравнение (20.41) сведется к нелинейному дифференциальному уравнению относительно функции :

Умножим это уравнение на Поскольку собственный вектор акустического тензора, которому соответствует собственное значение то правая часть полученного уравнения равна нулю. Таким способом получим уравнение

где

Уравнение (20.44) легко решается. Если через обозначить значение в точке то соответствующее решение будет иметь следующий вид:

Очевидно, что в зависимости от того, положительны или отрицательны, амплитуда стремится либо к нулю для либо к бесконечности для конечного

20.4. Акустический луч в точной теории.

Исключительно красивый вывод уравнения амплитуды дал Броун (работа неопубликована), основываясь на понятии акустического луча. Представим здесь этот вывод.

Не уменьшая общности, предположим, что все величины — функции не В частности, величины, определенные только на поверхности разрыва могут быть представлены как функции одних только С помощью функции эти величины можно также представить в виде переменных или, в общем, как функции переменных Для каждого в декартовых системах координат справедливы приближенные равенства

(см. рис. 22). Прежположим, что здесь и представлены в виде функций только одних Из этих равенств следует

и в произвольных системах координат

В тождестве (20.46) предположена возможность представления и как функций Равноценность обоих последних тождеств является результатом инвариантности полного ковариантного дифференцирования и материального дифференцирования по времени по отношению к подстановкам Умножая (20.46) на можно получить выведенную ранее зависимость (17.11). Величина в (20.46) произвольна. Подставив сперва а потом получим

Предположим, что для рассматриваемой волны а разрывы появляются только в высших производных и Итак, это волна ускорения (ср. с предыдущими параграфами). Из полученных выше условий совместности находим

Дифференцированием уравнения движения и физических зависимостей

находим

где введенный ранее тензор функций материала

Тождество следует из того, что оно тензорное и справедливо в специальных системах координат.

Умножая на и используя получаем последовательно

Подставляя далее (20.49) в (20.47), записываем

Исключая теперь из уравнений и (20.50) скачок, представим условие распростр анения

введенное в § 17 другим способом (см. (17.19)). Обозначим

Согласно (20.30) справедливо равенство Скаляр характеризует величину скачка ускорения на Согласно и (20.51) зависимости можем записать в виде

Перейдем к построению уравнения, определяющего скаляр а значит, и амплитуду волны ускорения. Подставляя в условие совместности (20.46) последовательно находим

Из уравнений (20.48) дифференцированием по времени получаем

где

являются функциями материала второго рода. При выводе (20.55) была использована коммутативность полного ковариантного дифференцирования и материального дифференцирования по времени.

Складывая левые и правые части получаем представленные ниже уравнения Умножая далее уравнения на и вычитая полученные уравнения слева и справа из находим уравнение

Исключая, наконец, из этих уравнений величину находим уравнение, определяющее амплитуду:

которое можно значительно упростить, умножив его на Согласно (20.51) правая часть будет тогда равна нулю:

Используя (20.54), можно получить другие равноценные виды этого уравнения;

Отметим, что согласно скачок однозначная функция Поэтому каждое из уравнений (20.59) является нелинейным дифференциальным относительно скачка ускорения или скачка производной по времени тензора напряжений . Ограничимся случаем, когда волна распространяется в невозмущенную среду, т. е. для В этом случае

В последнем преобразовании использована зависимость

Подставляя этот результат в и используя повторно находим

Это нелинейное дифференциальное уравнение определяет скаляр характеризующий интенсивность волны. Введением соответствующей кривой можно свести (20.60) к обыкновенному дифференциальному уравнению вдоль этой кривой. Для этого введем векторное поле нормализованное условием

и оператор дифференцирования по времени, определенный формулой

Производная (20.62) характеризует изменение, происходящее в течение времени и регистрируемое наблюдателем, движущимся вдоль линии векторного поля и по поверхности разрыва Если поле совпадает с полем то производная (20.62) переходит в обсуждавшуюся выше производную по перемещению.

Левая часть уравнения (20.60) может быть выражена производной (20.62), если направления вектора и коэффициента при совпадают. Следовательно, необходимо так подобрать поле чтобы

где С — скалярный множитель, который может быть определен из условия нормирования (20.61):

Здесь использована формула (17.6). Если далее принять во внимание (20.51) и (20.52), то

Это уравнение акустического луча. Оно аналогично уравнению Различие между ними является результатом нормирования (20.61), что видно из Уравнение (20.60) переходит теперь в уравнение

линии векторного поля коэффициенты этого уравнения — функции только времени Согласно (20.64), если в одной точке то на всей линии векторного поля проходящей через эту точку,