19. Волна ускорения в несжимаемом материале

19.1. Условие распространения.

При выводе условия распространения в несжимаемом материале примем во внимание два фактора: связь (6.1)

и появление скалярной функции в уравнениях движения

(см. (6.7)). Аналогично предыдущему при всех выводах предполагаем, что системы координат декартовы. Поскольку на поверхности разрыва непрерывно и та часть которая определена упругим потенциалом а, непрерывна (поскольку она является функцией градиента деформации, который предполагается непрерывным), то на поверхности

Согласно (17.10) получаем

где С — некоторый параметр, который является функцией

Дифференцируя (19.1) по находим

Для несжимаемого материала и первое выражение равно величине обратной к градиенту который по предположению непрерывен и невырожден. Отсюда следует, что непрерывна. Таким образом, справедливо тождество

которое после подстановки приводит к равенству

Если учесть (17.36) и (2.10), то окончательно получим

Итак, в несжимаемом материале могут существовать только поперечные волны.

Уравнение (19.2) удовлетворяется с обеих сторон поверхности В связи с непрерывностью функций находим

Принимая во внимание в этом уравнении выведенные выше уравнения совместности (17.14) и (19.3), получаем

Согласно (17.34) это условие можно преобразовать к следующему виду:

где акустический тензор мгновенной конфигурации. Чтобы получить условие распространения, необходимо исключить

неизвестную функцию С. Умножая на согласно (19.4) получаем

Подставляя С в (19.7) и принимая во внимание равенство получаем условие распространения волны ускорения в несжимаемом материале

Тензор будем называть приведенным акустическим. В несжимаемом материале амплитуда является собственным вектором, а произведение собственным значением приведенного акустического тензора. Умножая (19.6) на можно записать условие распространения в виде, аналогичном (17.18). В таком условии появляется приведенный акустический тензор

Тензор не симметричный. Однако покажем, что амплитуды, соответствующие разным скоростям распространения, взаимно ортогональны. Более того, амплитуды, удовлетворяющие (19.8), автоматически удовлетворяют условию (19.4). А именно, умножая (19.8) на получаем

Итак, волна поперечная. Если существуют две возможные амплитуды которым соответствуют разные скорости то согласно (19.8) находим

Умножая первое равенство на а второе на принимая во внимание (19.9) и вычитая полученные равенства одно из другого, получаем

Отсюда следует, что разным скоростям соответствуют взаимно ортогональные амплитуды. Эти амплитуды касательны к поверхности