3.2. Уравнения движения.

После подстановки (3.12) в (3.4) подынтегральная функция поверхностного интеграла становится линейной относительно По теореме Гаусса — Остроградского такой интеграл можно заменить пространственным интегралом, что приведет к равенству (полагаем, что функция от

Поскольку это равенство выполняется для любого объема К, то подынтегральная функция равна нулю:

Итак, в произвольной системе координат уравнение движения будет следующим:

Тело находится в состоянии динамического равновесия, если в декартовой системе координат выполняется (3.14). Это необходимое и достаточное условие. Выполнение (3.14) гарантирует выполнение (3.15) в произвольной системе. Наоборот, если выполняется (3.15), то в декартовой системе координат выполняется (3.14) и тело находится в динамическом равновесии.

Уравнение (3.15) выведено в предположении, что являются функциями только аргументов Если х заменить на то ковариантную частную производную необходимо заменить полной ковариантной производной. Тогда первое слагаемое уравнения (3.15) равно и уравнение (3.15) принимает вид

Очевидно, что (3.16) приводится к (3.15), если

Перейдем к рассмотрению закона сохранения момента количества движения. Сумма моментов действующих на сил равна

материальной производной момента количества движения части по времени. Следовательно,

что после подстановки (2.20), (3.2) в (3.17) и учета (3.12) приводит к уравнению (в декартовой системе координат)

Заменяя поверхностный интеграл объемным постоянен!), находим

Поскольку (3.19) выполняется для любого объема, то подынтегральная функция равняется нулю. Выражение в квадратных скобках равно нулю согласно (3.14). Таким образом, Поскольку тензор антисимметричный, то условием сохранения момента количества движения является симметрия тензора:

Равенство (3.20) как тензорное является условием динамического равновесия в любой системе координат.

Кроме тензора напряжений Коши определенного формулой (3.12), существуют другие тензоры напряжений. Самый важный из них и особенно удобный в общих рассуждениях — тензор напряжений Пиолы — Кирхгофа. Согласно (3.12) на поверхностный элемент действует сила

Подставляя в эту формулу из (2.10), находим

где

является тензором напряжений Пиолы — Кирхгофа. Умножая обе части (3.23) на используя (1.9), получаем зависимость, обратную (3.23),

Подставив (3.24) в уравнение движения (3.16), запишем

С целью определения первого слагаемого предположим, что системы координат декартовы, независимые переменные.

Находим

Заметим, что здесь использованы (2.3) и (1.11).

Поскольку тензор, то эта зависимость может иметь место в любой системе координат. Итак, первое слагаемое в (3.25) равно нулю. Умножая уравнение (3.25) на с учетом правила дифференцирования (1.13) и соотношения (2.14), получаем в итоге уравнение движения, выраженное через тензор Пиолы — Кирхгофа,

Второе уравнение движения (3.20) согласно (3.24) приводит к уравнению

более сложному, чем уравнение (3.20) для тензора Однако, как будет показано далее, физические соотношения можно построить так, что (3.27) будет выполняться тождественно.