6. Несжимаемый упругий материал

6.1. Геометрические связи и уравнение движения.

Несжимаемый материал определим одним из следующих равноценных условий (см. (2.14)):

Следовательно, деформация несжимаемого материала изохорическая. Для несжимаемого материала условия (6.1) определяют связи. В связи с этим существует разница между изохорической деформацией несжимаемого материала и деформацией несжимаемого материала.

Прежде чем записать уравнения движения, введем две вспомогательные зависимости. Дифференцируя зависимость по найдем

Здесь использованы и перестановочность дифференцирования. Раскрывая тождество получаем

Для упругого несжимаемого материала постулируем связь между напряжением и деформацией в виде (4.1). Возможные поправки введем далее. Проводя вычисления, сделанные выше, получаем условие (ср. с (4.10))

для любого замкнутого цикла, учитывая, что градиент деформации не является теперь произвольным, а должен выполнять условие (6.1).

Умножая (6.3) на скалярную функцию и вводя произведение в (6.4), получаем

откуда

Следовательно, тензор напряжений определен с точностью до одного параметра Часть тензора связанная с не производит работу при деформировании согласно связям (6.1). Как и в случае несжимаемого материала, а представляет накопленную энергию.

Согласно (2.34) тензор напряжений Коши — Грина принимает вид

При нахождении последнего выражения использовано (1.11). Это выражение имеет самую высокую возможную симметрию и удовлетворяет условию объективности. Его группа изотропии является полной ортогональной группой о.

Уравнение движения (3.26) относится ко всем случаям, а следовательно, и к несжимаемому материалу. Для приведения этого уравнения к виду, аналогичному (4.35), следует подставить (6.5) в (3.26) и использовать (6.2), что приведет окончательно к уравнению

где

и

В природе существуют только сжимаемые материалы. Несжимаемые материалы являются математической идеализацией, которая должна облегчить вычисления. В связи с этим существенен вопрос: будет ли решение краевых задач для несжимаемого материала близким к решению для материала с незначительной сжимаемостью? Ответ на этот вопрос положителен [2].

6.2. Линеаризованные уравнения.

Чтобы получить уравнения малого дополнительного движения (ср. с (4.36))

для рассматриваемого здесь несжимаемого тела проведем сначала дополнительные вычисления.

Выведем последовательно (с точностью до линейных по выражений)

Умножая на находим

Обозначая согласно (6.5) для движения определяем тензор напряжений

который после подстановки в (3.26) приведет к уравнению движения (полагаем, что для основного движения уравнение движения (3.26) удовлетворяется)

Здесь использовано тождество (ср. с (6.2)). Функции материала А определяются формулами (4.33), причем можно заменить на

Систему уравнений (6.11) следует дополнить уравнением несжимаемости, налагающим определенные ограничения на . А именно (в декартовых системах координат)

Разлагая левую часть равенства в ряд Тейлора в окрестности получаем

откуда следует, что в каждой системе координат должно выполняться условие

Система уравнений (6.11) и (6.13) является системой четырех уравнений с четырьмя неизвестными

6.3. Изотропный несжимаемый материал.

В случае изотропного материала такая же, как и выше, аргументация приводит к выводу, что функция только двух инвариантов Поскольку согласно то

Формулы (5.21) остаются справедливыми, следует только помнить, что В выражении (5.20) пропадает последний член, поскольку зато появляется член с (ср. с (6.6)). Итак,

В случае так называемого материала Муни упругий потенциал равен