Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике 6. Несжимаемый упругий материал6.1. Геометрические связи и уравнение движения.Несжимаемый материал определим одним из следующих равноценных условий (см. (2.14)):
Следовательно, деформация несжимаемого материала изохорическая. Для несжимаемого материала условия (6.1) определяют связи. В связи с этим существует разница между изохорической деформацией несжимаемого материала и деформацией несжимаемого материала. Прежде чем записать уравнения движения, введем две вспомогательные зависимости. Дифференцируя зависимость
Здесь использованы
Для упругого несжимаемого материала постулируем связь между напряжением и деформацией в виде (4.1). Возможные поправки введем далее. Проводя вычисления, сделанные выше, получаем условие (ср. с (4.10))
для любого замкнутого цикла, учитывая, что градиент деформации не является теперь произвольным, а должен выполнять условие (6.1). Умножая (6.3) на скалярную функцию
откуда
Следовательно, тензор напряжений определен с точностью до одного параметра Согласно (2.34) тензор напряжений Коши — Грина принимает вид
При нахождении последнего выражения использовано (1.11). Это выражение имеет самую высокую возможную симметрию и удовлетворяет условию объективности. Его группа изотропии является полной ортогональной группой о. Уравнение движения (3.26) относится ко всем случаям, а следовательно, и к несжимаемому материалу. Для приведения этого уравнения к виду, аналогичному (4.35), следует подставить (6.5) в (3.26) и использовать (6.2), что приведет окончательно к уравнению
где
и
В природе существуют только сжимаемые материалы. Несжимаемые материалы являются математической идеализацией, которая должна облегчить вычисления. В связи с этим существенен вопрос: будет ли решение краевых задач для несжимаемого материала близким к решению для материала с незначительной сжимаемостью? Ответ на этот вопрос положителен [2]. 6.2. Линеаризованные уравнения.Чтобы получить уравнения малого дополнительного движения (ср. с (4.36))
для рассматриваемого здесь несжимаемого тела проведем сначала дополнительные вычисления. Выведем последовательно (с точностью до линейных по
Умножая на находим
Обозначая
который после подстановки в (3.26) приведет к уравнению движения (полагаем, что для основного движения
Здесь использовано тождество Систему уравнений (6.11) следует дополнить уравнением несжимаемости, налагающим определенные ограничения на
Разлагая левую часть равенства в ряд Тейлора в окрестности
откуда следует, что в каждой системе координат должно выполняться условие
Система уравнений (6.11) и (6.13) является системой четырех уравнений с четырьмя неизвестными 6.3. Изотропный несжимаемый материал.В случае изотропного материала такая же, как и выше, аргументация приводит к выводу, что
Формулы (5.21) остаются справедливыми, следует только помнить, что
В случае так называемого материала Муни упругий потенциал равен
|
1 |
Оглавление
|