ГЛАВА IV. КОЛЕБАНИЯ

26. Бесконечно малые колебания при заданной начальной деформации

Рассуждения в настоящем параграфе будем основывать на линеаризованных уравнениях движениях (4.39)

В этих уравнениях функции материала зависят только от градиента основной деформации . В связи с трудностью общей задачи рассмотрим два случая: 1) основная деформация статическая, основная деформация зависит от времени . В первом случае функции материала не зависят от времени Рассмотрим этот случай.

Будем искать решения системы (26.1) в виде суммы следующего вида:

где — заданный параметр, . Подставляя (26.2) в (26.1), находим

Если это уравнение дополнить граничными и начальными условиями, то получим краевую задачу, которую в принципе можно решить. Для этого обсудим два примера.

26.1. Прямоугольный волновод.

Рассмотрим параллелепипед, начальная (основная) деформация которого однородна. В совпадающих друг с другом декартовых системах координат эта деформация описывается формулами

Градиент деформации, тензор деформации и функции материала (ср. формулы § 1 и (5.21)) имеют следующий вид:

остальные Функции можно получить круговой перестановкой индексов.

В рассматриваемом случае функции не зависят от координат Поскольку система декартова, то в уравнениях (26.3) эти функции можно вынести перед оператором полного ковариантного дифференцирования. Более того, это дифференцирование равнозначно частному дифференцированию. Ограничиваясь плоской задачей вместо системы (26.3) получаем систему уравнений

Разложим решение этой системы на сумму выражений вида

После подстановки (26.8) в (26.7) получаем систему алгебраических уравнений относительно постоянных

Условием существования нетривиального решения является равенство нулю коэффициента при Для фиксированных а и можно таким способом определить частоту Как будет показано далее, при отсутствии начальной деформации для каждых существует четыре действительные частоты удовлетворяющие (26.9). Ввиду непрерывности функции существует такая область деформаций, в которой существует четыре действительные частоты Обратим внимание на одну из них: . Поскольку в уравнении параметры выступают только в частных степенях, то

Более того, частота выступает тоже только в четных степенях. Отсюда следует, что, зная можно кроме решения (26.8) получить решение

Знаки при в обеих формулах (26.11) следует брать одинаковыми, а знак при В подобрать согласно Следовательно, это знак плюс для и для и знак минус для Линейная комбинация таких решений также является решением. Такими комбинациями являются, в частности, функции

Суммой выписанных решений будут функции

Предположим, что граница гладкая и плоская. Тогда на этой границе Согласно (26.12) находим

где произвольное натуральное число. Решение (26.12) — плоская синусоидальная волна с амплитудой, зависящей от координаты К. Ее фазовая скорость и групповая скорость

задаются формулами

Параметр а определяет длину волны

Для фиксированного момента времени повторяется та же конфигурация решения (23.12) на расстояниях в направлении оси

Решение (26.12) представляет движение среды в прямоугольном волноводе. Характеристика этого волновода зависит от начальной деформации, поскольку частота функция удлинений

Рассмотрим частный случай соответствующий отсутствию начальной деформации. Таким образом, материал находится в естественном состоянии. Функции Адля этого случая можно получить либо из (26.6), либо сравнением (26.3) с уравнениями Ляме:

где постоянные линейной теории упругости. Для функции (26.16) уравнение приводится к уравнению

со следующими корнями:

Согласно этим корням соответствуют и

В этом случае решение (26.12) имеет вид

а фазовая и групповая скорости

Как следует из данного в предыдущих пунктах анализа, величина является скоростью распространения, равной, в свою очередь, скорости сигнала. Соглясно (26.21) скорость распространения выражается средним геометрическим фазовой и групповой скоростей:

Заметим, что параметр а в формуле (26.12), а значит, и в (23.21) может быть принят совершенно произвольным.

Рис. 33

По формуле (26.18) находим соответствующее ему значение Для фиксированного т. е. для фиксированной формы волны, существует

Ни одна из меньших частот не может передаваться рассматриваемым волноводом, если изменяется в направлении оси как

Неравенство является следствием отражений от краев и наложения волн. Решение (26.12) выражается суммой решений (26.11), которые представляют собой две синусоидальные волны. Первая из них движется в направлении, ортогональном к плоскости а вторая — в направлении, ортогональном к плоскости На рис. 33 показаны положения фронтов обеих волн в некоторый фиксированный момент

Нормаль к линии фронтов первой волны (26.11) содержит координаты

Проведем в направлении нормали ось Очевидно, Следовательно,

Итак, формулы можно представить в виде

Фазовая и групповая скорости этого движения равны Таким же способом можно показать, что фазовая и групповая скорости движения также равны Вследствие интерференции обеих волн получаем волну (26.20), скорости которой определены формулами (26.21). На рис. 33 обозначены максимумы функций а толстыми вертикальными линиями — фронты равнодействующей волны для

26.2. Осесимметричная задача.

Рассмотрим прямой круговой цилиндр, который предварительно так деформирован, что его начальная длина и начальный радиус А изменились следующим образом:

где не зависящие от времени параметры. Предположим, что цилиндр изготовлен из несжимаемого упругого материала. Тогда Ограничимся осесимметричной дополнительной деформацией. Для такой деформации линеаризированные уравнения движения (8.16) являются следующими:

где введены обозначения (ср. (7.21) и (8.24))

Уравнения (26.28) являются частным случаем уравнений (15.16).

Предположим, что на поверхности цилиндр свободен от нагрузки. Поступая так же, как в § 15, приходим к граничным условиям

Будем искать решения в виде суммы выражений следующего вида:

Подставляя эти выражения в уравнения (26.28), получаем систему обыкновенных дифференциальных уравнений относительно функций и Эту систему можно легко привести к одному обыкновенному дифференциальному уравнению аналогично § 13—15. Решением полученного уравнения являются функции Бесселя. Взяв линейную комбинацию полученных решений, найдем

где корни уравнения

постоянная интегрирования.

Существуют четыре корня уравнения (26.33), два из которых приводят к бесконечно большим перемещениям в точке Таким образом, в решении (26.32) остаются две постоянные Подставляя это решение в граничные условия (26.30), получаем алгебраическую систему уравнений относительно Мы здесь не приводим простые, но трудоемкие вычисления; они приведены в

работе [63]. Решением (26.32) определяются перемещения в круговом волноводе. Характеристика этого волновода зависит от начальной деформации, описываемой параметром График перемещений аналогичен приведенному на рис. 33.