12. Устойчивость толстостенной сферической оболочки

12.1. Основная деформация.

Рассмотрим толстостенный шар о радиусами нагруженный гидростатическим давлением. Предположим, что он состоит из материала Муни, т. е. из

несжимаемого материала, упругий потенциал которого задается зависимостью

Основная деформация центрально-симметрична. Итак, после деформации снова получен шар, но с другими радиусами, которые обозначим через Введем параметр

Обозначая через положение типичной точки в конфигурации а через ее положение в конфигурации находим

откуда следует

Итак, параметр X полностью определяет деформацию шара. Введем в В сферическую систему координат Величины, связанные с этой системой координат, определены формулами (11.2) — (11.4).

Поскольку деформация осесимметрична, то декартовы координаты точки следующие:

Таким образом,

Определяем инварианты деформированного состояния и тензор напряжений:

Подставим теперь (12.9) в уравнения равновесия (7.16). Второе и третье уравнения удовлетворяются тождественно, если

тогда как первое приводит к уравнению

которое после подстановки выражений (12.9) и учета (12.4) дает

После интегрирования получаем

Принимая во внимание, что на на находим

12.2. Линеаризованные уравнения.

На тело в конфигурации В налагаем осесимметричное поле перемещений вводя следующие обозначения:

Линейные части приращений метрического тензора и символы Кристоффеля даны в предыдущем пункте. Перейдем к определению приращения инвариантов деформированного состояния. Поскольку материал несжимаем, следовательно, что после использования формулы для приводит к уравнению

Последнее уравнение позволяет определить приращения остальных двух инвариантов в простом виде

Приращения тензора напряжений для рассматриваемого случая будут следующими:

Уравнения равновесия вместе с уравнением несжимаемости (12.15) приводят к системе трех дифференциальных уравнений в частных производных относительно функций

Перейдем к граничным условиям. В конфигурации В на поверхности оболочка нагружена давлением а на поверхности она свободна от нагрузки. Следовательно,

Здесь принято во внимание, что на на На поверхностях выполняются условия

причем знак «плюс» относится к поверхности а знак «минус» — поверхности На обеих поверхностях удовлетворяется зависимость

что после умножения на приводит к следующим граничным условиям:

Подставив в эти условия выражения и найдем

Подстановкой в (10.13) можно показать, что граничные условия (12.22) соответствуют самосопряженной краевой задаче. Умножим (12.21) на Учитывая зависимости получаем граничные условия

равнозначные выражению (12.22). На внутренней поверхности имеем Условие самосопряженности (10.13) приводится к виду

где поверхность Заменяя этот интеграл объемным для полного шара и принимая во внимание, что убеждаемся в справедливости равенства. Таким образом, условием потери устойчивости является достижение состояния, в котором существует бифуркация равновесия. Последующие рассуждения посвящены нахождению этого состояния.

Аналогично случаю полного шара разлагаем в ряд Фурье по сферическим функциям:

После подстановки (12.24) в систему уравнений (12.18) получаем систему трех уравнений. Левая сторона каждого из них равна сумме произведений некоторой функции и функции или Поскольку последние линейно независимы, то каждый из коэффициентов при равен нулю. Таким образом, приходим к системе уравнений

(см. скан)

Воспользуемся снова граничными условиями. Подставляя выражения (12.24) в (12.22), получаем

Поскольку функции линейно независимы, то выражения в скобках равны нулю для каждого Используя далее зависимости (12.26), находим граничные условия для функции

для

Рис. 14

Итак, нахождение критического состояния сведено к нахождению такого состояния В, для которого краевая задача (12.27) и (12.29) имеет нетривиальное решение.

12.3. Условие потери устойчивости. Можно показать (ср. с [10]), что для существует только тривиальное решение Для краевая задача очень сложная, и ее не удалось решить аналитически. Результаты вычислений на цифровой машине даны на рис. 14 (полностью решение приведено в работе [10]). Сплошной линией показано численное решение, крестиками — экспериментальные результаты.