25. Ударная волна

25.1. Определение ударной волны.

Назовем волной слабого разрыва такую, на фронте которой непрерывны все производные, порядок которых ниже, чем порядок высшей производной в уравнении задачи. В противном случае получим волну сильного разрыва.

Уравнение движения (17.15) второго порядка. В предыдущих параграфах приводились разрывы вторых и выше производных перемещения, т. е. волны слабого разрыва. В настоящем параграфе рассмотрим случай, когда разрывы — первые производные, т. е. волны сильного разрыва. В случае сплошной среды такая волна называется ударной волной или волной скорости (скорость разрывна на фронте волны).

Фронт ударной волны задается уравнением

а скорость ее распространения

По определению функция непрерывна на Условия согласованности (17.10) и (17.12) приводят к зависимостям

Согласно физическому закону (4.14) на тензор напряжений также разрывен.

25.2. Уравнения сохранения.

Перейдем к уравнениям сохранения количества движения и энергии. Рассмотрим два положения соответствующие двум близким моментам времени На этих двух поверхностях построим цилиндр с основанием и образующей прямой (рис. 32). Для этот цилиндр находится перед следовательно, имеет скорость и его количество движения приближенно равно

Рис. 32

В момент цилиндр находится на и его количество движения равно

Следовательно, приращение количества движения имеет вид

Полная сила, действующая на торцы цилиндра, такова:

Для действующей на боковую поверхность силой можно пренебречь, тогда данное выше выражение будет представлять полную силу. Импульс этой силы должен быть равен приращению количества движения. Следовательно,

Для Таким образом, получаем уравнение сохранения количества движения

адиабатической волной. Более общие уравнения даны в работах [58, 56]. Пусть соответственно приращение кинетической энергии и потенциальной энергии цилиндра на время Тогда получим

Действующие на торцы цилиндра силы за время выполняют работу

Из условия сохранения энергии находим уравнение

которое после использования (25.5), (25.6) и перехода к пределу приводит к уравнению сохранения энергии

Следует подчеркнуть, что уравнения (25.4) и (25.7) в случае волны слабого разрыва удовлетворяются тривиально.

Перейдем к рассмотрению уравнения сохранения энергии. Для упрощения предположим, что нет притока тепла. Итак, рассмотрим адиабатический процесс (а не изэнтропический) Уравнения (25.3), (25.4) и (25.7) совместно с физическими зависимостями (4.14)

образуют уравнения, описывающие распространение ударной волны. Из всех уравнений нужно выбрать те, которым соответствует рост энтропии:

Для заданного направления распространения уравнения (25.3), (25.4), (25.7), (25.8) образуют систему уравнений с 27 неизвестными

Следовательно, существует дополнительная связь между неизвестными, а решение зависит от одного дополнительного параметра.

25.3. Условие распространения.

Прежде чем приступать к решению, преобразуем уравнение (25.7). Для произвольных полей запишем тождество

которое легко проверить, расписав выражения для скачков. Используя это тождество, получаем

Умножив уравнения (25.4) на найдем

Уравнения (25.10) и (25.11) позволяют исключить из (25.7) величины Это приведет к уравнению

которое заменит в последующем анализе уравнение (25.7).

Предположив, что аналитическая функция своих аргументов. Согласно тензор напряжений также является аналитической функцией градиента и энтропии Разложим в ряд Тейлора в окрестности обозначив

Тогда

Подставим написанные выражения в условия сохранения количества движения и энергии (25.4), (25.11), используя (25.3) и обозначая

Таким образом, получаем два уравнения — скалярное и векторное:

Из уравнения (25.17) видно, что — функция Предполагая аналитичность этой функции, представим ее в следующем виде:

где постоянные. Подставляя это выражение в (25.17), получаем выражения для этих постоянных с точностью до

Очевидно, что согласно

Подставляя (25.18) в (25.16), условие распространения запишем в виде

Это уравнение содержит четыре неизвестные три из которых можно определить как функцию четвертой. Наиболее удобно для последующего анализа принять скорость распространения и направление амплитуды в качестве функций модуля амплитуды

Будем трактовать этот модуль как малый параметр. Предполагая, что эти функции аналитические, получаем

Очевидно,

поскольку

Параметры постоянные. Подставляя (25.20) в (25.19), находим уравнение с малым параметром Приравнивая нулю коэффициенты при всех степенях, получаем бесконечную систему уравнений. Два первых уравнения имеют следующий вид:

Уравнение (25.22) записано с теми же коэффициентами и структурой, что и условие распространения волны ускорения для области перед волной (см. (17.18), (4.37) и (25.13)). Отсюда

где скорость волны ускорения, распространяющаяся перед волной сильного разрыва.

Перейдем к определению Для этого исключим из (25.23) вектор умножив это уравнение на Принимая во внимание (15.21), можно привести его к виду

откуда

Заметим, что согласно (25.18)

С точностью до первых степеней получаем

Итак, скорость ударных волн растет с их интенсивностью. Ударная волна с малой интенсивностью распространяется со скоростью волны ускорения, движущейся в области перед ударной волной.

Для получения более полной картины определим скорость волны ускорения, распространяющейся за ударной волной. Для этого следует найти которое с точностью до примет вид

После использования (25.3) и (25.20) с точностью до получим

Следовательно, условие распространения (17.18) волны ускорения примет вид

откуда следует

и окончательно

Сравнивая (25.27) и (25.28) и учитывая (25.26), получаем

Скорость волны ускорения является скоростью звука. Следовательно, ударная волна сверхзвуковая в области, находящейся перед ней, и дозвуковая в области, находящейся после нее. Анализ уравнений волны сильного разрыва описан в статьях [56—59]. Дополнительные замечания относительно уравнений переноса содержатся в работах [60—62].