18. Акустический луч

18.1. Бихарактеристика.

Рассуждения настоящего параграфа будем основывать на линеаризированном уравнении движения в декартовых системах координат

(см. (4.39)), где А не зависит от Эти функции зависят от и градиента начальной деформации, который, в свою очередь, является заданной функцией и Следовательно, можно трактовать как заданную функцию Обозначим

Для упрощения записи будем пропускать запятую, обозначающую частное дифференцирование по

На фронте волны перед поверхностью разрыва а за поверхностью разрыва Зависимость (18.2) позволяет вместо ввести новые независимые переменные Теперь перемещение можно представить как функцию :

которая после подстановки в (18.1) приводит к уравнению

Согласно (17.20) тензор в первых скобках вырожден. Следовательно, производная может иметь скачкообразный разрыв на поверхности В связи с этим представим в следующем виде:

где

а функции класса Здесь снова трактуется как функция переменных Легко убедиться, что

где функция Хевисайда. Начало суммирования в (18.4) от обеспечивает непрерывность функций на поверхности Разрывны только высшие производные перемещения Дифференцируя функции (18.4) и принимая во внимание тождества (18.5), находим

Подставляя полученные функции в уравнение движения (18.1), после упорядочения относительно получаем дифференциальное уравнение

Это уравнение должно удовлетворяться для любых Поскольку функции линейно независимы, то каждое из выражений в фигурных скобках равно нулю. Итак, вместо уравнения (18.1) получим систему уравнений

относительно неизвестных функций

Проанализируем уравнение (18.7). Предположим, что собственные значения акустического тензора различны: В этом случае соответствующие им собственные векторы А взаимно ортогональны и, следовательно, линейно независимы. Согласно существуют три разные функции каждой из них соответствует Единственным решением уравнения

является в этом случае А (определенное с точностью до модуля). В последующих вычислениях будем для простоты опускать индекс К над Согласно сказанному выше уравнение (18.7) приводит к выводу, что должно быть пропорциональным амплитуде

Предположим, что собственные значения акустического тензора различны; если два или три собственных значения одинаковы, то анализ намного сложнее, но проводится так же, как и приведенный ниже.

Через к здесь обозначен скалярный параметр, который зависит от С целью определения этого параметра умножим уравнение (18.8) на Согласно (17.25) коэффициент при равен нулю. Подставляя вместо зависимость (18.10), получаем дифференциальное уравнение относительно к

Пусть заданная параметрически кривая, определенная дифференциальными уравнениями

Предположим, что параметр X выбран таким образом, что для имеем Кривая (18.12) является бихарактеристикой

уравнения (18.1). Эта кривая лежит на трехмерной поверхности Чтобы доказать это свойство, заметим, что согласно (18.2) ортогональный к вектор имеет составляющие

Скалярное произведение этого вектора на вектор, касательный к кривой который определен согласно с (18.2)), имеет вид

Согласно (17.19) эта величина равна нулю. Если одна точка кривой лежит на поверхности то вся кривая лежит на этой поверхности.

Рис. 21

В случае, когда уравнение (17.18) имеет кратные собственные значения, например одной функции могут соответствовать две различные амплитуды (или их линейная комбинация). Уравнение (18.7) приводит к выражению

Подставляя это выражение в уравнение (18.8) и умножая последовательно на исключаем и получаем два уравнения относительно

Если три собственных значения одинаковы, то

Таким же путем получаем три уравнения относительно их.

18.2. Уравнение амплитуды.

Выше было предположено, что произвольный фиксированный собственный вектор акустического тензора Действительная амплитуда отличается от этого вектора множителем Следовательно, уравнение относительно скаляра х определяет действительную амплитуду. При выводе этого уравнения главным образом была использована монография Куранта [38]. Более подробные вычисления представлены в работе [39].

Дифференцируя сложную функцию получаем последовательно

Итак, первая составляющая уравнения (18.11) равна На кривой в силу (18.12) коэффициент при х является только функцией параметра Вводя обозначение

дифференциальное уравнение в частных производных (18.11) можно записать в виде обыкновенного дифференциального уравнения:

Решением этого уравнения является функция

где параметр С постоянный на всей кривой Пусть кривая будет проекцией кривой на пространство. Кривая определена уравнением Согласно (17.18) уравнение луча можно также записать в простом виде:

Обозначим через единичный вектор в направлении амплитуды Очевидно,

Из формулы (18.12) следует второй вид направляющих коэффициентов акустического луча:

Здесь параметром, изменяющимся вдоль луча, является время

Функция (18.13) показывает, что если в одной точке луча то в любой иной точке этого луча Если далее в одной точке луча то в любой иной точке луча Следовательно, получена полная аналогия геометрической оптике. Как следует из (18.14), акустический луч однозначно определяется акустическим тензором Все акустические лучи образуют в пространстве двухпараметрическое семейство кривых. Формула (18.14) дает направляющие коэффициенты этих кривых. Следует подчеркнуть, что величина не имеет никакого физического содержания, а только устанавливает зависимость параметра

Обозначим через единичный вектор, касательный к акустическому лучу У этого вектора такое же направление, как Он может быть легко определен на основании зависимости

(18.14). Скорость точки пересечения поверхности разрыва акустическим лучом является лучевой. Обозначим ее Если рассмотрим две поверхности разрыва соответствующие двум близким моментам времени то согласно (17.2) получим

Подставляя в эту зависимость производную (17.3) и используя определение скорости распространения заданное формулой (17.6), получаем

Перейдем к определению Поскольку уже определено, то уравнение (18.8) является алгебраическим с одной неизвестной Однако следовательно, функцию можно получить с точностью до векторов, коллинеарных В связи с этим представим в виде

В уравнение (18.8) входит теперь только Заметим, что в этом уравнении сумма выражений с является вырожденным тензором (см. (18.11)). В связи с этим уравнение (18.8) после подстановки (18.17) совместно и может быть определено.

Перейдем к нахождению уравнения, управляющего параметром С этой целью примем во внимание уравнение (18.9) для и умножим его на Таким путем исключаем Подставляя (18.17), получаем дифференциальное уравнение

Левая часть этого уравнения такая же, как и левая часть уравнения (18.11), если заменить х на На кривой правая часть этою уравнения — некоторая функция параметра которую обозначим Следовательно, параметр определен уравнением

Зная их, можно далее определить используя уравнение (18.9). Поступая аналогично, в общем случае получаем

Полученное решение позволяет легко построить другие решения, которые называют бегущей волной. Заменим функции произвольными функциями удовлетворяющими уравнению

Функции могут обладать более высокой степенью регулярности, чем функции Как следует из представленных выше рассуждений, ряд

поскольку он сходящийся, является решением уравнения (18.1). В частности, можно принять

Если коэффициенты уравнения (18.1) не зависят от времени то также не зависят от времени (ср. (18.14) и (18.19)). В этом случае

Складывая решения (18.22), соответствующие разным параметрам например можно получить частные виды поля перемещений, в том числе и перемещения, соответствующие стоячей волне.

18.3. Высшие приближения.

Будем основывать вычисления не на линейном уравнении (4.39), а на более общем уравнении (4.38):

Подставляя в это уравнение функции (18.4) и принимая во внимание (18.5), получаем однородное уравнение, представляющееся суммой произведений функции и некоторых функций переменных Поскольку функции линейно независимы, то каждый из коэффициентов при должен быть равен нулю. Два первых коэффициента (при имеют следующий вид:

Точками обозначены пропущенные выражения с функциями материала порядка, большего чем второй. Из уравнения (18.24) следует

где k — некоторый параметр (ср. (18.7) и (18.10)). С целью исключения из уравнения (18.25) умножим его на Первое выражение теперь равно нулю (см. (17.19)). После подстановки (18.26) приходим к дифференциальному уравнению

Выражения, линейные по х, в этом уравнении такие же, как в уравнении (18.11). Отсюда следует, что (18.27) представимо в виде уравнения вдоль введенной выше бихарактеристики

где

В зависимостях (18.29) необходимо представить функции справа от знака равенства как функции параметра X, используя формулы (18.12).

Уравнение (18.28), подобно (18.14), приближенное. В § 20 построим точное уравнение, определяющее амплитуду волны ускорения.