Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике 4.2. Функции материала.Временно ограничимся случаем, когда
(здесь повторена (1.8)), рассмотрим движение, описываемое уравнением
где Формула (4.17) представляет другое движение в той же системе
Движение (4.16) отличается от движения (4.17) жестким смещением, определенным вектором
(здесь повторена (1.29). Единичный вектор
Физическое соотношение (4.2) относится к любому движению. Следовательно, для движения (4.17) вектор напряжений имеет вид
Принцип объективности утверждает, что действительный вектор
напряжений вектор
Таким образом, принцип объективности подтверждает, что внутренние силы изменяют направление так же, как и тело. Этот факт является результатом определенных свойств пространства, а именно однородности и изотропии (смещение и поворот тела не влияют на его свойства). Опыт показывает, что принцип объективности очевиден. Если сказать, что длина пружины увеличена вдвое, то никто не спросит, какое направление у этой пружины и куда ее перенесли, однако каждый скажет, что сила увеличилась вдвое. Подставляя (4.2) и (4.20) в (4.21), находим
Поскольку это соотношение выполняется для любого
Умножая обе стороны этого тождества на
Заметим, что выполнение Используем полярное разложение тензора
которое должно выполняться тождественно для каждого ортогонального
Отсюда следует
Проверим, будет ли таким образом определенный тензор
Последнее равенство справедливо, так как произведения С учетом (4.24) независимые переменные в (4.23) примут следующий вид:
Векторы
Физическое соотношение (4.22) приводится к виду
Поскольку тензор Подставляя (1.20) в (4.25), получаем
Выражение в квадратных скобках как функция
Подставляя это выражение в (3.23), получаем следующую простую формулу для
Легко показать, что для движения
Соотношение (4.28) налагает определенные ограничения на функцию
Принимая во внимание первое и последнее выражения и интегрируя их, имеем
Аналогично (4.23) это соотношение выполняется для каждого собственно ортогонального тензора Постоянная интегрирования в (4.29) пропущена, что следует из возможности подстановки
и
Вторая формула следует из первой, поскольку Функции Обратимся теперь к формулам (4.14) и (4.15). Трактуя о как сложную функцию
Отсюда следует, что если Эта формула заключает результаты для материала с произвольной внутренней симметрией. Аналогично (4.26) она является тензорной формулой, следовательно, справедлива в любой системе координат. Дифференцируя (4.14), введем функции
Здесь Теперь уравнение движения (3.26) можно представить в следующем виде:
Как было сказано выше, потенциал а определяется функцией градиента посредством
|
1 |
Оглавление
|