4.2. Функции материала.

Временно ограничимся случаем, когда являются декартовыми системами. движения, описываемого уравнением

(здесь повторена (1.8)), рассмотрим движение, описываемое уравнением

где собственно ортогональный тензор,

Формула (4.17) представляет другое движение в той же системе Ортогональный тензор определяет жесткий поворот, поскольку длины и векторов одинаковы, что следует из равенства

Движение (4.16) отличается от движения (4.17) жестким смещением, определенным вектором и жестким поворотом, определенным вектором Если градиент деформации для движения (4.16), то для движения (4.17)

(здесь повторена (1.29). Единичный вектор ортогональный к материальному поверхностному элементу, вращается так, как целое тело. Отсюда

Физическое соотношение (4.2) относится к любому движению. Следовательно, для движения (4.17) вектор напряжений имеет вид

Принцип объективности утверждает, что действительный вектор

напряжений в движении (4.17) будет таким же, как повернутый

вектор

Таким образом, принцип объективности подтверждает, что внутренние силы изменяют направление так же, как и тело. Этот факт является результатом определенных свойств пространства, а именно однородности и изотропии (смещение и поворот тела не влияют на его свойства). Опыт показывает, что принцип объективности очевиден. Если сказать, что длина пружины увеличена вдвое, то никто не спросит, какое направление у этой пружины и куда ее перенесли, однако каждый скажет, что сила увеличилась вдвое. Подставляя (4.2) и (4.20) в (4.21), находим

Поскольку это соотношение выполняется для любого то

Умножая обе стороны этого тождества на и учитывая (4.1), находим

Заметим, что выполнение требуется только для собственно ортогональных тензоров. Встречаемое в литературе требование выполнения (4.22) для произвольных ортогональных тензоров слишком сильное.

Используем полярное разложение тензора Подставляя (1.17) в физические соотношения (4.22), получаем равенство

которое должно выполняться тождественно для каждого ортогонального Таким образом, тензор напряжений описывается девятью скалярными функциями зависящими от девяти независимых переменных Произвольность ортогонального тензора позволяет привести (4.23) к более простому виду. Возьмем

Отсюда следует

Проверим, будет ли таким образом определенный тензор ортогональным. Последовательно находим

Последнее равенство справедливо, так как произведения являются соответственно контравариантной и ковариантной составляющими вектора базиса в системе Величина как скалярное произведение векторов базиса равна метрическому тензору. Полученное выше тождество показывает, что определенный (4.24) тензор ортогональный.

С учетом (4.24) независимые переменные в (4.23) примут следующий вид:

Векторы фиксированные и заданные. Отсюда следует, что число независимых переменных в (4.23) сокращено до шести: Подставим (4.24) в (4.23). Как было сказано выше, зависимость функции от девяти аргументов видимая, поскольку ее можно выразить через шесть независимых переменных. Используя это, определим новую функцию шести аргументов, удовлетворяющую следующему тождеству:

Физическое соотношение (4.22) приводится к виду

Поскольку тензор должен быть симметричным, то, не ограничивая общность, можно требовать, чтобы была симметричной функцией Тогда уравнение (3.20) удовлетворяется тождественно.

Подставляя (1.20) в (4.25), получаем

Выражение в квадратных скобках как функция также является функцией поскольку однозначно определяет Обозначая эту функцию через находим

Подставляя это выражение в (3.23), получаем следующую простую формулу для

Легко показать, что для движения Поскольку величины связаны зависимостью (4.18), то

Соотношение (4.28) налагает определенные ограничения на функцию Ибо, подставляя (4.14) в (4.28), последовательно получаем

Принимая во внимание первое и последнее выражения и интегрируя их, имеем

Аналогично (4.23) это соотношение выполняется для каждого собственно ортогонального тензора Постоянная интегрирования в (4.29) пропущена, что следует из возможности подстановки Подставляя (1.17) и подбирая как в (4.24), находим

и

Вторая формула следует из первой, поскольку однозначно определяет

Функции должны быть найдены экспериментально. Для этого достаточно провести один статический опыт для однородного деформированного состояния. Если тело однородно, то из (3.26) следует возможность статической однородной деформации.

Обратимся теперь к формулам (4.14) и (4.15). Трактуя о как сложную функцию и принимая во внимание (1.24), получаем

Отсюда следует, что если то второе уравнение (3.27) удовлетворяется тождественно.

Эта формула заключает результаты для материала с произвольной внутренней симметрией. Аналогично (4.26) она является тензорной формулой, следовательно, справедлива в любой системе координат.

Дифференцируя (4.14), введем функции

Здесь независимые переменные, А — функции материала; функции определяют, полагая независимыми переменными. Они связаны с неоднородностью материала. Для однородного материала

Теперь уравнение движения (3.26) можно представить в следующем виде:

Как было сказано выше, потенциал а определяется функцией градиента посредством Не уменьшая общности, будем принимать, что Согласно замечанию, помещенному после формулы (4.32), уравнение движения (3.27) будет выполняться тождественно.