14. Устойчивость сжимаемого параллелепипеда

14.1. Основная деформация.

В противоположность § 13 рассмотрим сжимаемый материал. Вводя, как и ранее, для тела в конфигурации В декартову систему координат получаем

Ограничимся далее плоской деформацией полагая, что поверхности свободны от нагрузки. Согласно этому предположению получаем равенство

Это уравнение определяет некоторую функцию

14.2. Линеаризованные уравнения.

С целью получения линеаризованных уравнений налагаем на В поле малых перемещений обозначая

Напряжения получат малые приращения, определенные формулами

где

Сюда следует подставить Остальные коэффициенты можно получить из данных с помощью круговой перестановки индексов. Следуетподчеркнуть, что для ортотропного материала получаются такие же формулы (ср. с [13]).

Подставляя и (14.7) в уравнения равновесия, получаем

Как и в предыдущем пункте, предполагаем, что поверхности свободны от нагрузки, а поверхности плоские и нагружены только нагрузкой, перпендикулярной к ним. Записывая снова уравнение (13.14), получаем граничные условия (условие используем позже)

Можно показать, что краевая задача (14.8) и (14.9) самосопряженная. Соответствующее доказательство дано в работе [13]. Следовательно потеря устойчивости наступает тогда, когда эта задача допускает существование нетривиальных решений.

Для нахождения критической деформации разложим перемещения в тригонометрические ряды

Подставляя эти функции в (14.8), получаем систему двух уравнений. Левая часть первого является суммой произведений определенной функции а левая часть второго — функции . В связи с ортогональностью функций коэффициенты при этих функциях должны равняться нулю. Следовательно,

Исключая функцию находим одно уравнение относительно функции В:

где

Подставляя далее (14.10) в граничные условия (14.9) и исключая функции получаем

где

Общим решением уравнения (14.12) является функция

где

С целью упрощения записи пропущен индекс при функции .

14.3. Условие потери устойчивости.

Подстановка решения (14.16) в граничные условия (14.14) приводит к системе четырех алгебраических уравнений относительно Нетривиальное решение этой системы существует, если ее характеристический определитель равен нулю. Преобразовывая этот определитель, получаем

Сходство этого уравнения с уравнением (13.30), которое относилось к несжимаемому материалу, очевидно. Подобно предыдущему случай соответствует деформации, антисимметричной относительно оси деформации, симметричной относительно оси и .

Если заданы размеры и материал, то согласно (14.18) можно определить критическое удлинение При сжатии соответствующий график подобен графику, показанному в предыдущем параграфе. Анализ задачи о растяжении намного сложнее, чем в случае несжимаемого материала, в связи с большей сложностью соответствующих функций. Не будем приводить полный анализ, а лишь покажем, что при потеря устойчивости происходит для значения X, которому соответствует максимум номинального напряжения.

Для отношение и условие приводятся к следующему:

или согласно (14.15) к условию

независимо от того, корни действительны или комплексны.

С целью нахождения соответствующего максимуму номинального напряжения, рассмотрим малое изменение удлинений Точки тела В подвержены малому дополнительному перемещению координаты которого имеют вид

Следовательно, приращение напряжений определяется формулами (ср. с (14.6))

Определим сначала несколько вспомогательных величин, соответствующих дополнительному перемещению (14.21). Согласно формулам, данным в § 8, получим

Здесь индексом «1» обозначена поверхность а индексом «2» — поверхность Общие силы, действующие на параллелограмм в направлении осей х и у, будут следующими:

Подставляя в эти выражения величины (14.23), с точностью до получаем

По предположению поверхность не нагружена. Следовательно, и согласно (14.25)

Приравнивая нулю и подставляя из (14.26) находим условие максимума номинального напряжения

Это условие можно также получить, дифференцируя по выражение Сравнение (14.27) с (14.20) приводит к выводу, что потеря устойчивости бесконечно длинного параллелепипеда происходит при достижении номинальными напряжениями экстремума (по предположению