7. Конвективные координаты

7.1. Основные понятия.

Если не связывать метод конвективных координат с методом, который обсуждался в предыдущих пунктах, то сам вывод уравнений нелинейной теории упругости очень прост. Благодаря этому настоящий метод распространен относительно широко. Второй причиной распространенности метода является проведение вычислений в несколько этапов, что упрощает определение правильности рассуждений.

Построим в пространстве две совпадающие друг с другом декартовы системы координат Положение материальной точки в конфигурации В будем обозначать через , а в конфигурации через Материальные точки определяем тройками чисел Положение точки в конфигурации описывается функцией

а в актуальной конфигурации — функцией

Положим, что функции являются одно-однозначными. Следовательно, существуют функции

Функции (7.1) и (7.2) трактуем как преобразование координат. Система координат в момент времени существенно отличается от системы координат в момент времени Кривые являются материальными (проходят через фиксированные материальные точки). Следовательно, система координат деформируется вместе с телом. Вид кривой в конфигурации совпадает с видом кривой

в конфигурации В. В связи с этим используется также определение «вмороженные координаты». Все величины, относящиеся к будем обозначать индексом над соответствующим символом. Для простоты выражения примем, что конфигурация имеет место в момент и будем обозначать ее через

Рис. 4

Пусть радиусы-векторы точки в мохменты и Векторы

являются векторами базиса соответственно в Это — касательные к линии . Через обозначим единичные касательные векторы к осям Поскольку метрическим тензором системы является тензор следовательно, метрические тензоры и векторы базиса в и В соответственно равны (это преобразование тензора в новой системе координат)

Контравариантные векторы базиса ортогональны к поверхности Две материальные точки отдалены друг от друга в на следовательно, в В на причем

Жесткое движение не изменяет При фиксированном тензор определяет все расстояния и углы в актуальной конфигурации В, следовательно, он может быть мерой деформации.

7.2. Физические соотношения и уравнение движения.

Уравнения упругого тела хможно вывести для конвективных координат полностью независимо от теории двухточечных полей, как это представлено в монографии Грина и Церны [3]. Для экономии места

поступим здесь по-другому: используем формулы, данные в предыдущих пунктах. Примем Поскольку фиксированные (декартовы), такое предположение допустимо, и тогда можно использовать формулы, данные в предыдущих пунктах. Отметим, что

Градиент деформации и правый тензор деформаций имеют следующий вид:

На основании формул (7.4) найдем

Согласно последнему равенству инварианты можно записать в следующем виде:

Вторую часть равенства проще проверить в специальной системе координат, например, когда

Все величины будем представлять как функции а не При таком условии уравнением равновесия будет уравнение (3.16). Итак,

и

Здесь повторена формула (3.15).

Перейдем далее к зависимостям между напряжениями и деформациями. Согласно (4.22)

Здесь а представлена как функция при помощи (ср. с (7.8)), затем использованы и формула Для несжимаемого тела в (7.12) появляется дополнительное выражение где неопределенно.

Как показано в § 5, в изотропном теле функция от а следовательно, и тоже функция от вследствие зависимости от инвариантов

Далее обращаться к полученным в предыдущих пунктах результам не будем.

Преобразуем тензор из системы к системе в конфигурации В (не в ). В виде исключения отступим от сохранения основного символа и вместо будем писать

На основании формулы (7.12) находим

т. е.

Здесь введено обозначение

Если преобразовать векторы также к системе в конфигурации В, то вместо (7.10) получим

Поскольку ковариантная производная — тензор, то (7.16) равнозначно (7.11) и является достаточным и необходимым условием динамического равновесия.

7.3. Изотропный материал.

Ограничим последующие рассуждения изотропным материалом, для которого

Согласно (7.14)

Дифференцирование инвариантов (7.9) приводит к формулам

Следовательно,

Эти зависимости и уравнения выведены другим способом (без использования теории двухточечных полей) в монографии Грина и Церны [3].

7.4. Несжимаемый материал.

Формулы для несжимаемого материала при двухточечном подходе представлены в § 6. Согласно (6.1)

Следовательно, Согласно (6.7) тензор определен с точностью до а следовательно, и тензор с точностью до функции

Для несжимаемого материала в случае произвольной симметрии вместо формулы (7.14) получаем следующую формулу:

а в случае изотропии вместо формулы (7.17) — формулу