Пусть паре точек
и системам координат
соответствует система чисел
Поскольку эта система связана с парой точек
будем писать
Связь этой системы с системами координат
видна благодаря использованию индексов
а не
Если при переходе к новым системам координат
имеет место тождество
то
координаты двухточечного тензора при условии, что
двухточечный тензор. Аргументами функции с правой стороны тождества (1.3) являются точки
к которым отнесен тензор Из тождества (1.3) следует, что если в системах
координаты определенного тензора равны нулю, то они равны нулю и в любых других системах координат
Двухточечный тензор без индексов является двухточечным скаляром, а двухточечный тензор с одним индексом — двухточечным вектором, или, кратко, скаляром и вектором. Суще ствуют два различных вида двухточечных векторов:
Индексы двухточечного тензора можно поднимать или опускать, используя соответствующие метрические тензоры
или
Индексы одного и того же вида (латинские или греческие), расположенные на разных уровнях, можно свертывать. Двухточечные тензоры можно перемножать, если они определены в одних и тех же парах точек. Их можно также слагать, если они определены в одних и тех же парах точек и имеют одинаковое число латинских и греческих индексов. Эти действия выполняются так же, как действия над обычными тензорами. Приведем типичные примеры, относящиеся к алгебре двухточечных тензоров:
В большинстве последующих вычислений будем опускать обозначение точек, в которых определен двухточечный тензор.