ГЛАВА I. НЕЛИНЕЙНАЯ ТЕОРИЯ УПРУГОСТИ

1. Основные понятия

1.1. Двухточечное тензорное поле.

Двухточечное тензорное поле, являющееся обобщением обычного тензорного поля, детально обсуждено в монографии [54]. Приведем здесь основные свойства этого поля.

Введем в эвклидовом пространстве две фиксированные системы координат Тройки чисел определяют две разные точки пространства, которые будем иногда обозначать через х и X вместо Векторы базиса систем соответственно будем обозначать через Их скалярные произведения равняются метрическим тензорам систем Системе соответствуют символы Кристоффеля а системе символы Кристоффеля

Поскольку обе системы параметризуют одно и то же пространство, то существуют функции описывающие переход от координат х к координатам и наоборот. Здесь же эти функции мы использовать не будем. Введенная далее функция формально похожая на функцию описывает движение тела, а не изменение системы координат.

Введем две другие системы координат:

и

Если связаны зависимостью (1.1), то они являются координатами одной и той же точки х пространства Аналогично являются координатами одной и той же точки X пространства Обратим внимание на то, что в (1.1) и (1.2) система с латинскими индексами преобразуется в систему с греческими индексами.

Пусть паре точек и системам координат соответствует система чисел Поскольку эта система связана с парой точек будем писать Связь этой системы с системами координат видна благодаря использованию индексов а не Если при переходе к новым системам координат имеет место тождество

то координаты двухточечного тензора при условии, что двухточечный тензор. Аргументами функции с правой стороны тождества (1.3) являются точки к которым отнесен тензор Из тождества (1.3) следует, что если в системах координаты определенного тензора равны нулю, то они равны нулю и в любых других системах координат Двухточечный тензор без индексов является двухточечным скаляром, а двухточечный тензор с одним индексом — двухточечным вектором, или, кратко, скаляром и вектором. Суще ствуют два различных вида двухточечных векторов:

Индексы двухточечного тензора можно поднимать или опускать, используя соответствующие метрические тензоры или Индексы одного и того же вида (латинские или греческие), расположенные на разных уровнях, можно свертывать. Двухточечные тензоры можно перемножать, если они определены в одних и тех же парах точек. Их можно также слагать, если они определены в одних и тех же парах точек и имеют одинаковое число латинских и греческих индексов. Эти действия выполняются так же, как действия над обычными тензорами. Приведем типичные примеры, относящиеся к алгебре двухточечных тензоров:

В большинстве последующих вычислений будем опускать обозначение точек, в которых определен двухточечный тензор.

Если тензор определен не в одной паре точек а в некоторой паре областей, то будем говорить, что определено двухточечное тензорное поле. Ковариантная частная производная двухточечного тензорного поля определена следующими формулами:

где запятая обозначает обычное частное дифференцирование В формуле (1.4) при частном дифференцировании полагаются фиксированными и все Аналогично в формуле (1.5) полагаются фиксированными а у, и все Символы Кристоффеля или соответствуют той же точке х или X, в которой ищется производная. Если система координат декартова, то и ковариантное дифференцирование в (1.4) сводится к частному дифференцированию относительно Если система декартова, то ковариантное дифференцирование в (1.5) сводится к частному дифференцированию относительно Производные (1.4) и (1.5) являются тензорами при условии, что в (1.5) — параметры, и согласно тензорному характеру ковариантной производной обычных тензоров.