15. Устойчивость предварительно напряженного цилиндра

15.1. Основная деформация.

Рассмотрим прямой круговой цилиндр длиной I и радиусом а, изготовленный из несжимаемого материала (конфигурация Цилиндр подвержен предварительной деформации при помощи разреза полуплоскостью, проходящей через ось, и удаления (или вставки) клина с углом раствора После этого материалу возвращается сплошность и цилиндр дополнительно удлиняется в направлении оси. Размеры цилиндра в актуальной конфигурации В равны I и а (рис. 18). Параметры

определяют предварительную деформацию. Удалению клина соответствуют условия тогда как вставке клина — условия Поскольку материал несжимаем, то

Из последующих зависимостей будем исключать параметр используя (15.2).

Введем цилиндрическую систему координат предположив, что конвективная система совпадает в конфигурации

В с системой Таким образом,

В связи с однородностью описанной выше деформации точка занимает в конфигурации положение

Рис. 18

Эти зависимости позволяют определить тензоры и инварианты деформированного состояния

Поскольку инварианты не зависят от то не зависят от Подставляя (15.7) в уравнения равновесия, убеждаемся, что два из них удовлетворяются тождественно, если а третье приводит к уравнению

где

Здесь С — постоянная интегрирования. По предположению поверхность свободна от нагрузки. Поэтому откуда

Из (15.10) видно, что только при Следовательно, рассматриваемый цилиндр не может находиться в естественном состоянии. Естественное состояние можно создать, только нарушив сплошность материала.

15.2. Линеаризованные уравнения.

На тело в конфигурации В налагаем поле малых перемещений вводя следующие обозначения:

Согласно формулам, данным в § 8, получаем

(см. скан)

(см. скан)

Вместе с уравнением несжимаемости образуется система четырех уравнений относительно четырех функций

15.3. Плоское деформированное состояние.

Перейдем к исследованию частных случаев. Прежде всего рассмотрим плоское деформированное состояние Уравнение удовлетворяется тождественно. Из остальных можно исключить функции получив уравнение для функции и

Разложим и в тригонометрический ряд:

(В интервале функции образуют полную систему ортогональных функций.) Подставляя (15.18) в (15.17), убеждаемся, что каждый из коэффициентов при должен равняться нулю. Пропуская для простоты записи индекс , находим

где

Если на поверхности цилиндр свободен от нагрузки, то

где

Если принять во внимание, что на то

или, после подстановки (15.14), (15.18) в (15.23) и исключения функций

Условие самосопряженности (10.13) удовлетворяется тождественно, следовательно, цилиндр теряет устойчивость тогда, когда краевая задача (15.19) и (15.24) допускает существование нетривиальных решений. Общим решением уравнения (15.19) является функция

где корни уравнения

Из решения (15.25) следует исключить решения, имеющие особенность в следовательно, соответствующие отрицательным корням а потом подставить их в граничные условия (15.24). Тогда получим систему двух уравнений для постоянных Равенство нулю определителя этой системы координат станет условием потери устойчивости. Ограничимся только представлением результатов для материала Муни при Для этого материала и

а условие потери устойчивости будет следующим:

Численный анализ при приводит к Это соответствует удалению клина с углом раскрытия При других критической деформации соответствуют большие k. Более детальный анализ устойчивости предварительно напряженного цилиндра дан в работах [14—17].

15.4. Осесимметричное деформированное состояние.

Если и дополнительная деформация осесимметрична, то после разложения в ряды

и исключения функций уравнения (15.16) приводятся к виду

где

Если поверхность а свободна от напряжений, а поверхности плоские и нагружены только нормальной нагрузкой, то граничные условия для функций следующие:

где

Можно показать, что краевая задача (15.30), (15.32) самосопряженная. Если , то общим решением уравнения (15.30) будет функция

где постоянные интегрирования. Здесь пропущены решения

которые имеют особенность в точке (цилиндр сплошной). Параметры могут быть действительными, мнимыми или комплексно-сопряженными. Вблизи они мнимые. Введя

получим решение

которое после подстановки в граничные условия (15.32) приведет к условию существования нетривиальных решений

Это условие было получено Уилксом [18]. Более детальный анализ обсуждаемого в этом пункте случая дан в работе [19].

Не представляет труда рассмотрение устойчивости трубы, как только начальная деформация однородна. В этом случае все формулы вплоть до (15.35) остаются теми же. К двум граничным условиям на добавляются еще два таких же условия на что после подстановки (15.34) приводит к системе четырех уравнений относительно четырех постоянных Равенство нулю определителя этой системы уравнений является условием потери устойчивости. Соответствующие вычисления даны Уилксом [18].