1.3. Тензор деформации.

Перейдем к рассмотрению тензоров деформации и вращения. Существование функции гарантирует условие Следовательно, является невырожденным тензором. Каждый невырожденный тензор второго ранга можно разложить на произведение ортогонального тензора и положительно определенного симметричного тензора

Из (1.17) и (1.18) действительно следует, что

Поскольку определитель левой стороны этого равенства больше нуля, то тензор невырожден. Таким образом, можно найти положительно определенный тензор удовлетворяющий (1.17), а также Умножая теперь (1.17) на находим

что приводит к равенству

Таким образом, данный в (1.20) тензор ортогональный. Разложение (1.17) позволяет найти другое разложение. Умножим обе стороны (1.20) на В результате получим

Легко показать, что тензор симметричный. Согласно замечанию, приведенному после формулы (1.9), выполняются условия

Поскольку тензор положительно определенный, то тензор также положительно определенный. Введем обозначения

Пусть является линейным материальным элементом. Согласно (1.17) и (1.21) элемент после деформации занимает положение определяемое формулой

Поскольку тензор симметричный, то он имеет три собственных вектора Эти векторы не вращаются при деформации Говорят, что среднее вращение, соответствующее равно нулю. Тензор определяет жесткое вращение.

Тензоры называют соответственно правым и левым тензорами растяжения, а тензоры соответственно правым и левым тензорами деформации. Введем следующие функции:

Как видно, эти функции не зависят от системы координат. Следовательно, они — инварианты тензора Поскольку то величины (1.27) — инварианты тензора Используя (1.22) и (1.25), убеждаемся далее, что функции (1.27) также являются инвариантами

Пусть произвольный ортогональный тензор, а произвольный вектор. Рассмотрим движение, определенное следующей связью:

Это движение отличается от движения, определяемого уравнением (1.8), жестким смещением и жестким поворотом. Для движения (1.28) градиент деформации, тензоры растяжения и деформации будут иметь следующий вид:

Отсюда следует, что инварианты (1.27) остаются постоянными при жестком движении. Это свойство (а не неизменяемость при изменении системы координат) имеет существенное значение в механике континуума.

Инварианты (1.27) являются коэффициентами уравнения Кэли — Гамильтона

Из этого уравнения следует альтернативное выражение для

Каждая одно-однозначная функция тензора или может быть мерой деформации, например и т.д. Такие меры распространены в определенных конкретных теориях, например в теории пластичности. Целесообразность их введения состоит в том, что для определенных материалов физические зависимости, выраженные через эти новые меры, могут быть проще, чем физические зависимости, выраженные через Эти меры здесь обсуждаются, потому что они не вносят ничего существенноного в теорию.

Из (1.24) и (1.27) следуют вспомогательные формулы, которыми будем пользоваться далее,

При вычислении производной удобнее пользоваться формулой (1.31).

Пример. Пусть декартова, а цилиндрическая системы координат , Для таких систем

Рассмотрим движение описанное уравнениями

где постоянные. Оно соответствует распрямлению цилиндра и его растяжению в направлении оси у. В этом случае находим

Согласно (1.24) и (1.25) тензоры деформации имеют вид

Легко видеть, что тензоры будут следующими:

Согласно (1.14) скорость является вектором вида

Определим производные скорости

Последний результат можно получить дифференцированием рассматриваемой как функция . Согласно (1.34) и (1.36) имеем

откуда

Видно, что в (1.39) разные, так как частная ковариантная производная не инвариантна относительно замены на То же справедливо и по отношению к в обеих формулах одинаковы. Согласно (1.16)

Существует две возможности: последовательно пользоваться либо формулами (1.36) и (1.37), либо формулами (1.38) и (1.39). В первом случае

во втором

В обоих случаях конечные результаты одинаковы.