28. Колебания с конечной амплитудой

Колебания с конечной амплитудой сжимаемых тел описываются уравнениями движения

несжимаемых же тел — уравнениями движения

Каждое движение можно реализовать, прикладывая соответствующие массовые и поверхностные силы, определенные по схеме: движение тензор напряжений поверхностные силы массовые силы. Однако такое решение полностью бесполезное, потому что нет технически возможного способа приложения заданных наперед объемных сил. Интересны только те движения, которые можно реализовать при заданной и зафиксированной объемных силах. В настоящем параграфе будем заниматься только такими задачами. При этом предполагаем, что массовые силы равны нулю.

28.1. Сжимаемые тела.

Для сжимаемых тел нет ни одного общего динамического решения для больших перемещений, поскольку

система уравнений (28.1) очень сложна. Так, например, уже в одномерном случае

В совпадающих декартовых системах координат уравнение приводится к нелинейному дифференциальному уравнению в частных производных с двумя независимыми переменными

Решение этого уравнения существенно зависит от функции Для заданного материала уравнения (28.1) и (28.4) можно решить численным методом или одним из приближенных методов, например методом возмущений или последовательных приближений. Не будем обсуждать эти трудоемкие решения, поскольку их результаты не являются общими, а сами приближенные методы описаны в многочисленных учебниках.

Следует подчеркнуть, что для сжимаемого материала существует конечная деформация, зависящая от времени и такая, что ускорение х тождественно равно нулю. Это решение (см. предыдущий параграф) соответствует линейно зависящему от времени удлинению параллелепипеда (ср. (27.1) и (27.4)).

28.2. Несжимаемые тела.

Если на поверхности несжимаемого тела заданы произвольные поверхностные силы, то степень трудности такая же, как и в случае сжимаемого тела. Поэтому решение следует искать только с помощью приближенных или численных методов. Однако для некоторых частных представлений поверхностных сил существует класс точных решений, которые можно построить для несжимаемых тел. Пусть деформация

является статическим решением системы уравнений (28.2), зависящим от параметров

Решениями этого типа являются обсуждаемые в § 3 приложения деформации, возможные во всех несжимаемых телах. Если функции одного параметра то получаем однопараметрическое семейство статических решений. Исследуем, допустимы ли эти решения также для динамического случая, когда параметром со является время В этом случае ускорение не равно нулю и уравнение движения имеет вид

причем, вообще говоря, Поскольку Вычитая (28.5) из (28.6) и предполагая,

что функция получаем

Отсюда следует, что если можно так подобрать скалярную функцию, чтобы удовлетворялось уравнение (28.7), то является динамическим решением. Напряжения в динамическом случае получим из статических напряжений, добавляя где определяется по (28.7).

Условием разрешимости уравнений (28.7) является симметрия ковариантной производной ускорения:

Это условие либо выполняется тождественно, либо таким образом связывает функции что часть из них выражается через оставшиеся. Пусть взаимно независимые функции времени, для которых условие (28.8) выполняется тождественно. Итак, для каждой функции можно определить функцию Теперь является уравнением движения с конечным числом степеней свободы где число независимых функций

Поскольку тензор напряжений в динамическом случае

то поверхностные силы в динамическом случае

Рассмотрим теперь обратную задачу, когда неизвестны, а заданы поверхностные силы, действующие на тело. Если эти силы имеют представления, аналогичные формулам (28.10), то одним из динамически возможных движений является движение, определяемое функцией Кроме этого движения могут существовать другие, поскольку краевые задачи нелинейной теории упругости могут иметь неоднозначные решения. С другой стороны, представление (28.10) частное и известно только тогда, когда известны все функции . В связи с этим рассмотрим функции для заданных средних чисел, например для полной осевой силы, среднего давления и т. п. После определения движения возможно нахождение представления поверхностных сил.

Поскольку система имеет конечное число степеней свободы то самое удобное основывать вычисления на уравнениях движения в форме Лагранжа (см., например, [66]):

где кинетический потенциал; — потенциальная энергиям; — кинетическая энергия; - обобщенные внешние силы. Обсуждаемые выше параметры являются здесь обобщенными перемещениями. Обобщенные внешние силы определены работой внешних сил на обобщенных виртуальных перемещениях:

Обобщенные силы в некотором смысле средние. Основываясь на данном выше анализе, предполагаем, что эти силы заданы. Потенциальная энергия является упругой энергией. Она такая же, как и в статическом случае (ср. формулы § 4):

где энергия, накопленная в единице массы тела. Кинетическая энергия системы выражается интегралом

Потенциальная энергия является функцией параметров кинетическая — функцией этих параметров и их производных по времени.

Вместе с начальными условиями

уравнения (28.11) определяют обобщенные координаты было подчеркнуто выше, зная эти координаты, можно определить функцию с точностью до аддитивных постоянных, а потом подобрать эти постоянные так, чтобы обобщенные силы равнялись

Для каждого из пяти семейств деформаций, приведенных в приложении 3, можно найти динамическое решение, однако соответствующие поверхностные силы трудны в реализации. Только в двух случаях, а именно при осцилляции по радиусу толстостенных сферической и цилиндрической оболочек, представление поверхностных сил простое. Решения для этих случаев, полученные на основании уравнений движения в форме Эйлера, даны в работах [67, 68]. Решение для цилиндрической оболочки, полученное на основе метода, изложенного выше, дано в работе [69]. В следующем пункте обсудим кратко это решение.

28.3. Осцилляция толстостенной цилиндрической оболочки.

Рассмотрим деформации семейства 3 (см. приложение 3) для В цилиндрических системах координат эта деформация описывается формулами

где функции времени; Инварианты деформированного состояния, соответствующие этой деформации, следующие:

Перейдем к исследованию, зависимы ли друг от друга функции т. е. удовлетворяют ли они условию (28.8). Вычисляя скорость и ускорение, последовательно получаем

Ускорение (28.20) тождественно удовлетворяет условие интегрируемости (28.8). Итак, функции и являются независимыми и рассматриваемая динамическая система имеет две степени свободы.

Перейдем к определению кинетической энергии потенциальной энергии 2 и кинетического потенциала Лагранжа Обозначим через длину цилиндра, а через его радиусы в конфигурации Согласно (28.17) соответствующие величины в конфигурации В будут следующими:

Таким образом, кинетическая энергия согласно (28.19)

Эти функции можно легко проинтегрировать. Мы не приводим здесь достаточно пространные результаты интегрирования, поскольку хотелось бы главным образом только наметить ход рассуждений.

Потенциальная энергия является следующей:

Если задана функция накопленной энергии а то потенциальную энергию можно выразить в явном виде через

Обозначим через полную осевую силу, а через полные силы, действующие на поверхностях Виртуальная работа этих сил

согласно (28.21)

Сравнивая (28.23) с (28.13), видим, что обобщенные силы имеют следующий вид:

Итак, найдены все величины, входящие в уравнения Лагранжа (28.11). Дифференцирование интегралов (28.21) и (28.22) по является дифференцированием по параметру. Проводя это дифференцирование, получаем окончательно уравнения движения

Здесь использовано тождество

В уравнениях (28.25) и (28.26) не содержится ни ни (интегрирование). Итак, эти уравнения являются обыкновенными дифференциальными уравнениями с неизвестными и Предположим, что эти функции уже определены. Следовательно, в уравнении (28.7) из статического решения известны Итак, можно определить из этого уравнения с точностью до постоянной интегрирования. Эту постоянную можно подобрать так:

Не будем приводить здесь соответствующее доказательство, которое требует использования факта равноценности уравнений движения в форме Лагранжа (28.11) и Эйлера (28.6).

Если внешние силы потенциальны, что имеет место, например, при то их потенциал может быть включен в 2. В этом случае первый интеграл системы (28.25), (28.26) имеет вид

Этот интеграл позволяет легко проверить, является ли движение периодическим. Это имеет место всегда, когда а увеличивается достаточно быстро с ростом инвариантов Подробный анализ этой задачи дан в работе [69].

В частном случае, когда получаем радиальные колебания толстостенной трубы. В этом случае следует отбросить уравнение (28.25).

28.4. Сокращение степеней свободы.

В рассмотренном выше случае условие (28.8) не вводит никаких ограничений на функции и Это не типичный случай. Рассмотрим для примера деформации семейства 1 (см. приложение 3) для Для этой деформации

где цилиндрическая, а декартова системы координат. Скорость движения (28.29) будег

Перейдем к определению ускорения Согласно (1.15) находим

Для условие (28.8) приводит к уравнению

а для остальных индексов оно удовлетворяется тождественно. Условие (28.32) можно также записать в следующей форме:

Отсюда

Итак, функция полностью определяет функцию Несмотря на то что в статическом случае существуют две степени свободы, в динамическом случае возможно движение только с одной степенью свободы. Для этого движения аналогично изложенному в предыдущем паьграфе можно построить уравнение Лагранжа.