9.2. Определение устойчивости.

Рассматривая устойчивость системы, будем интересоваться перемещениями и скоростями, поскольку только слишком большие перемещения могут быть опасными (напряжения не превосходят допустимой границы, если перемещения и их градиенты меньше определенного предельного значения).

Рассмотрим систему дифференциальных уравнений

Такая система описывает упругие системы, причем Пусть решение (9.20), соответствующее начальным условиям Говорят, что решение устойчиво, если при заданном существует такое при котором (ср. с рис. 10)

и в каждый момент времени выполняется неравенство

Здесь — разные решения системы (9.20); двойная вертикальная черта обозначает норму, которой может быть, например, Если такое не существует, то решение неустойчиво. Если можно выбрать независимым от то решение равномерно устойчиво.

Указанное определение устойчивости впервые было дано Ляпуновым (ср., например, с [5]). Говорят, что описанная уравнениями (9.20) система устойчива в момент если все ее решения устойчивы. Определение Ляпунова относится к фазовому пространству, так как Решение устойчиво, если в фазовом пространстве близки к точкам Параметр может быть бесконечно малым или конечным. Первый случай назовем устойчивостью «в малом», второй — устойчивостью «в большом». Если дополнительно кроме условия (9.22) выполняется условие

когда

то говорят, что решение асимптотически устойчиво. Понятие асимптотической устойчивости сильнее, чем понятие устойчивости. Система может быть устойчивой, но не устойчивой асимптотически.

Вообще говоря, основное движение описывается нелинейной краевой задачей. Малое дополнительное движение можно, однако, описать линейной краевой задачей, как это было показано, например, в § 6. Ограничим последующие рассуждения случаем, когда основная деформация не зависит от времени. Запишем данную краевую

задачу в виде

где — некоторые не зависящие от времени операторы.

В статическом случае, когда не зависит от времени, краевая задача принимает вид

Поскольку описывает разницу между динамически допустимым движением и возмущенным движением, то всегда решение краевых задач (9.25) и (9.26). Отсюда — однородные операторы.

Назовем идеальной системой такую, которая точно соответствует своему математическому описанию. Например, если рассматривать однородную сферическую оболочку, то идеальной системой будет идеально однородная оболочка, поверхности которой идеально конфокальные сферы. Противоположностью идеальным системам являются действительные, всегда имеющие определенные ошибки изготовления. Следует подчеркнуть, что если бы все ошибки были известны, то можно было бы их учесть в вычислениях и тогда система была бы идеальной. Все уравнения математической физики представляют уравнения идеальных систем. Уравнения (9.25) и (9.26) также относятся к идеальной системе.

Рассмотрим теперь действительные системы. Вследствие неминуемых неточностей изготовления (а также математического описания) не является статическим решением для такой системы. Отсюда делаем вывод, что статика действительной системы описывается краевой задачей

где тк и не зависящие от времени векторы. Поскольку все неточности изготовления не могут быть известны, то векторы тк и неизвестны.

Вообще неточности системы могут вызывать изменение операторов Предположим, что неточности настолько малы, что вызывают не изменения операторов и а лишь появление векторов тк и в уравнениях (9.27).

Таким образом, исключим возможность исследования систем, в которых существуют малые эффекты, отличные от упругости, например вязкость или пластичность. Эти эффекты, в особенности малая вязкость, могут вызывать неустойчивость системы, однако они не рассматриваются в настоящей монографии.

Перейдем к динамическим краевым задачам для действительной системы. Исходя из условия (9.27), убедимся, что действительная система описывается не однородной краевой задачей (9.25), а

неоднородной задачей

Предположим, что неточности изготовления системы не изменяются со временем. Введение изменяющихся со временем неточностей было бы эквивалентно введению возмущений, зависящих от времени, однако их необходимо исключить. Постоянно действующее возмущение может приводить к неограниченным перемещениям даже в элементах, о которых нужно сказать, что они устойчивы (например, в растягиваемом стержне в линейной теории упругости). Проанализируем далее краевую задачу (9.28). Обозначим не зависящее от времени решение задачи (9.27) через и представим перемещение в виде

Обе составляющие не зависят друг от друга, поскольку они — функции разных аргументов. Подставляя (9.29) в (9.28), получаем

Функция удовлетворяет краевой задаче идеальной системы (9.25).

Ограничения (9.21) и (9.22) относятся к решению краевой задачи для действительной системы, а следовательно, и функций данных в (9.29).

Полные перемещения могут превзойти безопасные пределы, если превзойдут эти пределы или Если для малых неточностей не является малым, то говорят, что система имеет скрытую неустойчивость. Термин «скрытая» означает следующее: если не учесть неточности изготовления системы, то можно просмотреть возможность появления больших перемещений. Если не являются малыми, то говорят, что система имеет динамическую неустойчивость. Во многих системах (но не всех) скрытая неустойчивость и динамическая неустойчивость появляются при одинаковой нагрузке.

Опираясь на проведенное выше обсуждение, примем следующий критерий устойчивости: система устойчива, если

1) для каждой неючности статическое перемещение конечно;

2) для каждого конечного начального значения функции идеальной системы будут конечными.

Условие 1 требует, чтобы для каждого тк, краевая задача (9.30) имела решение, т. е. чтобы существовал оператор, обратный операторам Обратный оператор существует только при условии, что однородная краевая задача

имеет тривиальное решение Следовательно, условие выполняется только тогда, когда идеальная система не допускает нетривиальные положения равновесия.

Рис. 11

Резюмируя сказанное, приходим к выводу: действительная система устойчива, если

1) идеальная система не допускает нетривиальные положения равновесия;

2) для каждого конечного начального значения перемещение идеальной системы остается конечным.

Принятый критерий требует разложения полной деформации на две составляющие, соответствующие основному и дополнительному процессам. На первом этапе система деформирована, но сохраняет свою симметрию. На втором этапе симметрия возмущена. В зависимости от величины деформации на втором этапе различают устойчивости «в малом» и «в большом». Вообще система, устойчивая «в малом», может быть неустойчивой «в большом». Так, например, если стержень Эйлера прижимается к жесткой стене с малым давлением то для любой силы он устойчив «в малом», так как его выравнивает (рис. И). Однако для достаточно большого большой прогиб приводит к сламыванию стержня, и поэтому он неустойчив «в большом». Для конечных начальных деформаций устойчивость «в большом» до сих пор не решена. Во многих случаях, если закритическое поведение не является главной целью анализа, достаточно рассматривать устойчивость «в малом». Этой устойчивостью и ограничим наши рассуждения.

Пример. Если линейная система содержит конечное число степеней свободы, то (9.28) имеет вид

Следовательно, удовлетворяет уравнению

Нет такого тк, для которого существует если

В этом случае появляется скрытая неустойчивость. С другой

стороны, необходимое и достаточное условие существования нетривиальных решений однородного уравнения.

Перемещение удовлетворяет уравнению

решением которого является функция

где удовлетворяют уравнению

Отсюда следует, что со является любым корнем уравнения