23. Анализ условия распространения

23.1. Поверхность запаздывания.

Возвратимся к условию распространения (17.19) и следующему из него условию (17.20):

Согласно замечанию, введенному после уравнения (18.2), получаем

Очевидно, что некоторый вектор в системе Отнесем его к декартовой системе координат с такими векторами базиса, как векторы базиса системы в точке Каждому направлению распространения в общем случае соответствуют три разные конечные скорости Согласно находим (ср. (17.3) и (17.6))

В связи с этим (23.2) — замкнутая поверхность, состоящая из трех ветвей. Она является поверхностью запаздывания. Название происходит от того, что длина луча равна величине, обратной скорости (см. (23.3)).

Каждая прямая может иметь по крайней мере шесть действительных точек пересечения с поверхностью запаздывания, так как

уравнение (23.2) шестого порядка. Если эта прямая имеет точки, общие с внутренней ветвью поверхности запаздывания, внутренняя ветвь поверхности запаздывания будет выпуклой (рис. 28).

23.2. Волновая поверхность.

Обсудим понятие волновой поверхности. Рассмотрим теоретически однородный материал с такими свойствами и такой начальной деформацией, как материал в точке Предположим, что в этом материале действует в момент возмущение в точке Для фронт возникшей волны образует замкнутую поверхность, окружающую Фронт волны в момент является волновой поверхностью. Данное определение показывает подобие фронта волны в действительном материале в для и волновой поверхности.

Рис. 28

Рассмотрим плоские волны, фронт которых определен уравнением

и которые распространяются в упомянутом выше теоретическом однородном материале. Эти волны проходят через точку в момент Следовательно, можно считать, что они вызваны источниками, находящимися на плоскости, проходящей через точку Влияние единичного источника в точке не может распространяться далее, чем влияние источников, лежащих на плоскости, т. е. вне плоскости (23.5). Следовательно, волновая поверхность является огибающей фронтов волны (23.5) для Уравнение фронта плоской волны (23.5) для имеет вид

что после использования (23.3) дает

Обозначим через координаты точки С касания волновой поверхности и фронта плоской волны (23.5) для (рис. 29). Рассмотрим одну ветвь. Очевидно,

является уравнением волновой поверхности. Для каждой точки лежащей на волновой поверхности, согласно (23.6) получаем

По (23.7) вектор

для каждого касателен к волновой поверхности, следовательно, для каждого удовлетворяется уравнение

Рис. 29

С другой стороны, согласно (23.2) уравнение

удовлетворяется также для каждого

Сравнивая написанные соотношения, получаем

где некоторый скалярный множитель.

Обратимся к уравнению (23.10). Дифференцируя его по находим

Окончательно (23.11) и (23.12) приводят к зависимости

Очевидно, что вектор, ортогональный к поверхности запаздывания Следовательно, вектор параллелен вектору ортогональному к поверхности запаздывания. Из этого свойства и уравнения (23.10) следует простое построение волновой поверхности, если известна поверхность запаздывания (ср. с рис. 29). Радиус-вектор волновой поверхности параллелен нормали к волновой поверхности. Связанные описанным способом поверхности обратны относительно радиуса. Трем ветвям поверхности запаздывания (23.2) соответствуют три ветви волновой поверхности (23.7).

Если рассматриваемая ветвь поверхности запаздывания выпуклая, то соответствующая ветвь волновой поверхности также выпуклая. Внешние ветви поверхности запаздывания могут быть вогнутыми, тогда на волновой поверхности образуется характеристический карман, называемый лакуной.