4. Упругое тело

4.1. Зависимость напряжение — деформация.

Представленные в предыдущих пунктах соотношения не зависят от физического характера тела. Они относятся к таким сложным средам, как вязкие тела, пластические тела, жидкости и т. п. Последующие рассуждения ограничим упругим телом, принимая следующее определение. Упругим телом называется такое тело, для которого тензор напряжений в некоторый момент времени и в некоторой точке зависит только от значения градиента деформации тот же момент времени и в той же точке

В этом определении все можно заменить на Обратим внимание, что функция не зависит от движения тела. Согласно (3.12) и (3.23) вектор напряжений и тензор напряжений Пиолы Кирхгофа 75? соответственно имеют вид

Таким образом, в определении упругого материала можно заменить на Напряжение в точке х и момент времени не зависят от значения х а в точках и в моменты времени Поэтому говорят, что формулы (4.1) и (4.2) являются локальными во времени и пространстве.

Рассмотрим часть тела которая в конфигурации занимает объем ограниченный поверхностью На элемент объема в конфигурации В действует сила которая согласно (2.14) равна Аналогично на элемент поверхности действует сила которая согласно (3.22) равна Рассмотрим движение тела от момента времени до Работу внешних сил, произведенную за время этого движения, запишем в виде

а приращение кинетической энергии согласно (2.22)

Другой вид формулы (4.4) следует из (2.21).

Преобразуем сначала (4.3). Для этого предположим, что все функции выражены как функции Тогда можно заменить поверхностный интеграл объемным:

Принимая во внимание (3.26), находим

и согласно (4.4)

Рассмотрим деформацию, при которой значения в мсмент времени и значения в момент времени а одинаковы:

Такая деформация образует замкнутый цикл. После замкнутого цикла тело возвращается в начальную конфигурацию.

Согласно (4.4) для замкнутого цикла а значит, согласно (4.6)

Заметим, что изменение направления обхода изменяет знак Если то, выбирая соответствующим образом направление обхода, имеем Следовательно, система, в которой не произошли перемены (ср. (4.7)), произвела работу. Это противоречит первому началу термодинамики и приводит к выводу, что для каждого замкнутого обхода Таким образом, изменяя в (4.8) порядок интегрирования, для каждого замкнутого обхода находим

Поскольку (4.9) выполняется для каждого то функция в скобках равна нулю. Интеграл

зависит не от пути интегрирования, а лишь от начального и конечного значений градиента Отсюда следует, что подынтегральная функция является полным интегралом. Таким образом, существует такая функция что

Подставляя (4.11) в (4.6), получаем

Функция является плотностью накопленной энергии. Если ввести функцию

то формулы (4.11) и (4.12) примут вид

Согласно физическому смыслу значения функций не зависят от систем координат. Следовательно, они являются скалярами. Поскольку частная производная скаляра по тензору — тензор, то (4.14) и (4.11) являются тензорными формулами. Явная

зависимость и соответствует неоднородности материала. Для однородного материала

Выразим тензор напряжений Коши через потенциал а. Подставляя (4.14) в (3.24), имеем

их а их а

Здесь использована формула (2.14).