2. Количество движения и момент количества движения

2.1. Материальные области.

Предположим для простоты, что являются правыми системами. Определим скаляр который будем называть якобианом:

Оба определения равноценны. Определение следует из с помощью умножения последнего на в то время как определение из с помощью последовательной подстановки

В декартовых системах координат получаем

Отсюда согласно (1.27) следует (2.2). В криволинейных системах однако равенство (2.2) как тензорное, выполняющееся в одной системе координат, остается справедливым.

Тензор как тензор, обратный к (ср. с (1.9)), имеет вид

где символ обозначает алгебраическое дополнение.

Согласно (2.3)

Для получения последнего равенства использовано Равенства (2.2) и (2.3) как тензорные, выполняющиеся в декартовых системах координат, будут всегда справедливы. Заметим, что если то Из предположения (обратимость функции (1.8), обе системы координат правые) следует

В последующих рассуждениях потребуются определенные формулы, относящиеся к мерам поверхности и объема.

Начнем с элемента объема. Пусть параметры (ср. с (1.6)). Объем параллелепипеда, построенного в конфигурации на векторах равен

Этот параллелепипед в конфигурации В переходит в параллелепипед, построенный на векторах Объем в конфигурации В определяется формулой

или, на основании формулой

Таким образом, отношение объемов материальных областей в конфигурациях и В не зависит от способа параметризации и равно . Перейдем к поверхностному материальному элементу, построенному на вектор

Здесь мера поверхности; нормальный версор в конфигурации Он переходит в параллелограмм, построенный на векторах Таким образом, имеет место равенство

где мера поверхности, а нормальный версор в конфигурации В. Тогда согласно (2.4) и (2.8) последовательно получаем

Материальное тело обладает мерой, которая является массой. Пусть будет частью тела Объем, который в пространстве занимает в конфигурации обозначим через а в конфигурации В — через Поверхность области обозначим соответственно через и Далее рассмотрим такие части в которых и V односвязны. Символы используем как для обозначения конфигурации, так и для обозначения объемной и поверхностной мер. Масса части тела равна

где плотность массы в конфигурации Эта масса является инвариантной по отношению к деформации:

где - плотность в конфигурации В. Заменяя переменные подстановкой (2.7) в (2.12), имеем

Поскольку это равенство справедливо для каждого то подынтегральная функция равна нулю, откуда следует (ср. с (2.2))

В последующих рассуждениях будут необходимы производные по времени интегралов, определенных в трехмерных материальных областях Прежде всего заметим, что интегрирование составляющих тензоров, рангом выше нуля, имеет смысл только в случае, когда система декартова (постоянные векторы базы можно вынести за знак интеграла). Вычисляя производную по времени, получаем последовательно

Здесь произведена замена переменных согласно (2.7) и использованы (2.14). Далее для фиксированной области производная по времени внесена под знак интеграла и с помощью (2.14) и (2.7) сделан переход к предыдущим переменным. При преобразовании (2.15) предположено, что независимые переменные. Поскольку

операция материального дифференцирования по времени инвариантна относительно подстановки преобразование справедливо также в случае, когда и функции

2.2. Количество движения, момент количества движения и кинетическая энергия.

Количеством движения части тела называют интеграл

Согласно (2.15) определим производную количества движения по времени. Роль функции выполняет функция следовательно, откуда

Моментом количества движения относительно точки О (система декартова) называют интеграл

где — радиус-вектор. Согласно (2.15) материальная производная по времени момента количества движения будет иметь следующий вид:

так как тензор постоянен. Поскольку первое выражение под интегралом равно нулю и

Кинетической энергией части тела называют интеграл

Согласно (2.15) ее материальная производная по времени