27. Бесконечно малые колебания при изменяющейся во времени начальной деформации

Обсудим два решения для изменяющейся во времени начальной деформации, значительно более сложные, чем приведенные в предыдущем параграфе, поскольку функции теперь зависят от времени Это приводит к тому, что разложение перемещений на произведение функции координат и функции времени как в (26.2), вообще невозможно. В связи с этим решение можно найти только в простейших случаях.

27.1. Однородная деформация.

Введем две декартовы системы координат совпадающие друг с другом, и рассмотрим движение, заданное следующим образом:

Градиент деформации тензор деформации и тензор такие же, как в формулах (26.5) и (26.6), с той лишь разницей, что не постоянны, а зависят от времени Определяя тензор напряжений Пиолы — Кирхгофа согласно (5.20), находим

Поскольку не зависят от то левая часть уравнений движения

тождественно равна нулю. Итак, движение (27.1) возможно, если ускорение Отсюда

Подставив удлинения (27.4) в (26.6), получим Функции материала не зависят от и система координат декартова. Следовательно, линеаризованное уравнение движения (26.1) можно привести к виду

Перейдем к анализу решений этого уравнения. Рассмотрим сначала решение, соответствующее плоской волне:

Вектор перемещения заданный формулой (27.6), имеет постоянное направление в пространстве. Его модуль равен На материальных поверхностях вектор зависит только от времени Подставляя (27.6) в уравнения движения (27.5), получаем

Тензор введен ранее акустическим тензором. В общем случае он не имеет нулевых собственных значений, ибо скорость распространения была бы тогда равной нулю. В связи с этим и согласно Разделив (27.7), на находим

Итак, направление перемещения является собственным вектором акустического тензора Однако зависит от времени, тогда как предполагается не зависящим от времени. Итак, решение (27.6) возможно только в случае, когда тензор имеет по крайней мере один не зависящий от времени собственный вектор Такой случай выполняется только тогда, когда

Если два собственных вектора тензора не зависят от времени, то вследствие ортогональности векторов (симметрия третий собственный вектор также не зависит от времени.

В общем случае тензор не имеет вид (27.9) и колебания (27.6) невозможны. Рассмотрим важный частный случай, когда вектор имеет направление одной из осей например . Здесь

поскольку часть функций материала тождественно равна нулю (см. (26.6)). Теперь существуют три постоянных во времени собственных вектора или .

Принимая далее, что тензор имеет вид (27.9), записываем уравнение (27.8) в виде

Разделение переменных приводит к уравнениям

где постоянная связанности. Если о известно, то эти уравнения можно решить. Если решениями становятся функции то их линейная комбинация, например функция

также будет решением. Это не синусоидальная волна, поскольку не пространственные координаты. Длина волны (27.13) зависит от времени Можно также построить стоячую волну:

Узлы этой волны расположены в фиксированных материальных точках, но движутся в пространстве.

Кроме (27.12), можно рассматривать другие формы функции например

где неизвестные функции.

Анализ этих случаев прост, а решения частично совпадают с решением (27.12).

Перейдем к решению, полностью отличному от (27.12):

Это — обобщение решения (26.8) на случай, когда удлинения являются функциями времени. Подставляя (27.16) в уравнения (27.5), получаем систему уравнений относительно функций

которые можно привести к виду

Если функции материала заданы, то второе из уравнений (27.18) можно решить аналитически или численно, а потом из первого уравнения определить Линейные комбинации решений также являются решениями. Поскольку не зависит от знаков при то такой комбинацией, в частности, будет система

задающая стоячую волну, узлы которой размещены в фиксированных материальных точках.

Рассмотрение вместо двумерного случая (27.16) трехмерного не представляет больших трудностей. Примем во внимание

Тогда уравнение движения (26.1) приведет к системе уравнений

где параметр связанности. Уравнение является системой четырех дифференциальных уравнений, которые можно решить численно.

Существование решения (27.6) допускает возможность существования решения вида

Подстановка этих величин в уравнения движения (27.5) приводит к системе дифференциальных уравнений

Для существования нетривиальных решений необходимо, чтобы тензор имел, по крайней мере, один не зависящий от времени собственный вектор. Однако даже если это условие не выполняется, то колебаний может и не быть, так как левая часть уравнения

(27.23) является функцией переменных а правая — функцией переменных В частном случае, когда имеет направление одной из осей координат, например и из уравнения можно исключить переменную Более подробный анализ обсуждаемого случая дан в работе [64].

27.2. Центрально-симметричная задача.

Если то рассмотренное выше решение значительно упрощается и представляет колебания шара, радиус которого линейно изменяется во времени. В этом случае целесообразно ввести сферические координаты Систему уравнений для этого случая можно получить из уравнений § 11, дополняя их инерционными выражениями и учитывая, что параметры функции времени.

Сохраняя обозначения (11.20) и (11.21), получаем

Второе уравнение следует отбросить, если

С целью нахождения частного решения предположим, что функции аналитичны и имеют следующий вид:

Подставляя (27.25) в (27.24), получаем следующую систему уравнений:

где штрих обозначает дифференцирование по а точка — дифференцирование по времени. Можно показать [65], что для система (27.26) всегда противоречива. В то же время для эта система приводится к одному уравнению

так как можно предположить и отбросить уравнение которое распадается на систему двух уравнений:

где постоянная связанности. Решением первого из них является функция

Поскольку не определено для следовательно, необходимо принять, чтобы постоянная интегрирования Остается уравнение Для произвольного его аналитическое решение не найдено. В частных случаях оно может быть уравнением Матье или уравнением Ляме. В большинстве случаев решение является осциллирующей функцией. Для материала Мурнагана уравнение (27.28) сводится к уравнению Рикатти и его можно интегрировать аналитически [65].