3. Тензор напряжения и уравнения движения

3.1. Тензор напряжения.

Воздействие упругих тел на часть тела в конфигурации В сводится к силам, действующим только на точки поверхности и к силам, действующим на Главный

Еектор и главный момент этих сил следующие:

где — плотность массовых сил (на единицу массы, а не объема), плотность сил, действующих на поверхность Полагаем, что плотность объемных сил не зависит от конфигурации В. Таким образом, исключаем дальнее взаимодействие между точками тела . Этот факт имеет существенное значение в последующих рассуждениях. Плотность зависит от точки х и конфигурации Полагаем, что если на некоторой части две поверхности пересекаются, то на ней .

Рис. 1

Согласно первому закону динамики сумма сил, действующих на равняется производной количества движения части по времени:

Подставляя (2.17) и (3.1) в (3.3), получаем

Покажем, что линейная функция Пусть занимают положение, показанное на рис. 1. В точке они имеют общую нормаль Сфера с радиусом и поверхностью включает объем Записывая (3.4) для и вычитая левые и правые части уравнений, находим

Для последующих рассуждений достаточно принять, что и имеют общую ось симметрии. Поскольку и имеют общую нормаль, их уравнения имеют соответственно вид где постоянные. Отсюда следует, что имеет порядок т. е. порядок

площади поверхностей и имеют порядок При вычислении предела (2.12), когда остаются только интегралы по областям и

Отсюда следует, что Окончательно имеем

поскольку нормали для обеих поверхностей отличаются только знаком.

Построим тетраэдр с вершиной в точке такой, что его три грани с нормалями взаимно перпендикулярны. Грань с нормалью замыкает тетраэдр (рис. 2). Отсюда

Рис. 2

Первое равенство следует из того, что ориентированные поверхности можно складывать как векторы, второе — из первого с помощью умножения на Предполагая, что функция непрерывна, находим

Обозначим ребра рассматриваемого тетраэдра через и рассмотрим тетраэдр с ребрами Объем этого тетраэдра стремится к нулю как а площади стремятся к нулю как Переходя к пределу в уравнении (3.4), можем пренебречь объемными интегралами, в результате чего оставшийся поверхностный интеграл после использования (3.9) приводит к уравнению

Используя (3.8), находим

Векторы взаимно независимы в том смысле, что при фиксированных трех векторах четвертый может быть выбран

произвольно. Правая часть приведенного равенства линейна по отношению к значит, и левая линейна относительно . Таким образом, справедливо равенство

Здесь пропущен индекс поскольку точка Сможет быть выбрана произвольно. Величина является тензором напряжения Коши, так как тензоры. Указанная зависимость выражает значение в точке через значение в той же точке. Очевидно, что величины могут быть выражены как функции Таким образом, в общем виде имеем