16. Другие решения задач устойчивости

На основе линейной теории упругости решено большое количество задач, в частности задач устойчивости различных плит, оболочек и конструкций. В некоторых из них допускаются большие перемещения, однако предполагается, что деформации малы и справедлив линейный закон Гука. Обсуждение этих решений не является целью настоящей монографии. Мы отсылаем читателей к многочисленным монографиям и учебникам, например монографиям Болотина [20] и Тимошенко [21].

Замкнутые решения для нелинейных упругих тел можно найти, если известно решение для конечной деформации. Поскольку соответствующие краевые задачи нелинейны, то решения можно получить почти исключительно с помощью обратных методов, т. е. при помощи угадывания поля перемещений и такого подбора определенных функций, чтобы удовлетворялись уравнения равновесия В связи с этим для произвольного упругого тела известны только решения с высокой степенью симметрии. Для произвольного сжимаемого материала единственной известной деформацией является

однородная. Для несжимаемого материала существует несколько семейств деформаций:

а) однородные деформации,

б) расширение толстостенной сферической оболочки,

в) разного рода осесимметричные деформации цилиндра и толстостенной сферической оболочки.

Определение «осесимметричные» здесь обозначает, что деформации и напряжения (но не перемещения) зависят от но не зависят от Эти деформации подробно обсуждаются, например, в работе [1]. Им соответствует большое число задач устойчивости, поскольку каждой деформации могут соответствовать разные границы и граничные условия. Так, например, возможно нахождение критической деформации в элементах различной формы, в которых осуществлено однородное деформированное состояние. Кроме случаев, исследованных в § 13, 14, проанализирована устойчивость круглой плиты [22] и некоторые другие задачи.

Случай однородной деформации можно свести к известным уравнениям, Для декартовых координат уравнение равновесия (ср. с (8.17)) будет следующим:

Оператор не зависит от координат и симметричен по отношению к индексам Тогда можно ввести потенциалы такие, что

После подстановки (16.2) в (16.1) получаем уравнение шестого порядка с постоянными коэффициентами

решение которого не представляет трудности. Общее решение уравнения (16.1) является линейной комбинацией [23].

Ряд решений, соответствующих однородному деформированному состоянию, получил Био [24—27]. Он основывался на введенных им уравнениях, относящихся к малым деформациям, наложенным на конечные деформации. Уравнения Био - частный случай представленных здесь уравнений. Список последующих работ Био, относящихся к устойчивости, дан в работе [23].

В области осеснмметричных деформаций решены задачи об устойчивости сжимаемой по оси трубы (однородная начальная

деформация) [18] и устойчивости скручиваемого и сжимаемого цилиндра [28]. Это — два первых решения, полученных с помощью метода, изложенного в предыдущих пунктах. Устойчивость толстостенной трубы [29], а также устойчивость сплошного цилиндра [30] рассматривал Дущик, получив ограничения на функции материала, аналогичные данным в § 13. Устойчивость сжимаемого или растягиваемого цилиндра рассматривал Весоловский [19], показав, что даже бесконечно длинному цилиндру не соответствует максимум растягивающей силы. Устойчивость предварительно напряженного цилиндра в более широкой области, чем рассмотренная в § 15, обсуждали Весоловский, Златанова и Мачинский [17].

В частных случаях возможно нахождение начальной деформации для анизотропных тел. Тогда можно, основываясь на уравнениях § 1—6, рассмотреть устойчивость, что сделали Био [24, 26] и Весоловский [13]. Не вызывает также никаких трудностей рассмотрение устойчивости ортотропной сферической и цилиндрической оболочек, подобное приведенному в работах [10, 29].

Аналогично случаю анизотропии иногда возможно нахождение начальной деформации как для кусочно-однородных, так и для непрерывно-неоднородных тел. Первые работы принадлежат Био [24, 25]. Цилиндр с кусочной однородностью рассматривал Самборский [31], с непрерывной неоднородностью — Региньский [32].

Для специальных материалов, например материала Муни, кроме указанных начальных деформаций известны и другие (ср., например, [33] и [34—36]). Следовательно, для частных материалов возможно рассмотрение задач устойчивости для других деформаций.

Все известные решения об устойчивости в нелинейной теории упругости основаны на бифуркационном критерии. Как показано в § 10, этот критерий приводит к правильному ответу только в случае, когда собственные значения соответствующей краевой задачи действительны. Большинство авторов не проверяет выполнение этого условия. В обсуждаемой области до сих пор нет ни одного решения для динамической потери устойчивости, так же как и нет хотя бы одного решения для зависящей от времени нагрузки. Очень интересным примером было бы, например, рассмотрение сферической оболочки, нагруженной давлением, линейно возрастающим со временем. Это решение позволило бы дать ответ на вопрос: влияние начального движения стабилизирующее или дестабилизирующее? Тот же вопрос можно поставить и относительно целого ряда других движений (например, квазиравновесного движения [1]; см. также § 25).