ГЛАВА II. УСТОЙЧИВОСТЬ

9. Устойчивость механических систем

9.1. Критерии устойчивости. Вступительные замечания.

В научной литературе можно встретить целый ряд критериев устойчивости. Обсудим их здесь кратко на простейших примерах, основываясь главным образом на учебнике Циглера [4].

Бифуркационный метод определяет состояние системы как критическое, если эта система допускает нетривиальные конфигурации равновесия. Рассмотрим колонну длиной I (рис. 5), нагруженную силой Жесткость на изгиб обозначим через Дифференциальное уравнение равновесия для этой задачи имеет вид

(произведение жесткости и кривизны равно изгибающему моменту), а граничные условия следующие:

Общим решением уравнения (9.2) является функция

где постоянные. Если целое число, то единственным решением, удовлетворяющим уравнению (9.2), будет Однако если

то существует конфигурация равновесия, описываемая кривой

Поэтому силу

называют критической. Поскольку в бифуркационном методе рассматривается только равновесие (а не движение), этот метод еще называют методом равновесия.

Метод «несовершенств» основан на факте, что каждая система имеет некоторые несовершенства, например неоднородность, начальную кривизну и др. Следовательно, задача совсем иная, чем в бифуркационном методе, где принимается, что система идеальна. При нагружении такой системы прогибы с самого начала отличаются от нуля и возрастают вместе с нагрузкой.

Рис. 5

Рис. 6

Если они увеличатся выше определенного критического значения, то говорят, что нагрузка достигла критического значения.

Предположим, что рассмотренная выше колонна нагружена силой, действующей на расстоянии от оси колонны, где мало по сравнению с (рис. 6). Вместо (9.1) имеем следующее уравнение:

Граничные условия (9.2) остаются такими же. Решением, удовлетворяющим граничным условиям, является функция

Прогиб и неограниченно возрастает, если т. е.

Разные несовершенства могут приводить к разным результатам. Существенно наименьшее значение критической силы. Рассмотрение всех возможных несовершенств (технически) трудное, и поэтому этот метод имеет ограниченное применение.

Энергетический метод состоит в нахождении нагрузки, для которой потенциальная энергия перестает быть положительно определенной. Для изображенной на рис. 5 колонны потенциальная энергия

Первое составляющее представляет энергию изгиба, а второе — потенциальную энергию силы (груза на определенной высоте). Энергия V перестает быть положительно определенной, если вариация 1

Рис. 7

Соотношение (9.8) представляет работу внутренних и внешних сил на возможных перемещениях. Уравнение (9.8) равноценно (9.1) и (9.2). Таким образом, приходим к выводу, что V положительно определена, если

Для положительной определенности V необходимо и достаточно, чтобы при возмущении тривиального равновесия работа внешних и внутренних сил была отрицательной. Последнее утверждение является основой метода работ. Метод работ и энергетический метод равноценны, если существует потенциал внешних сил. Метод колебаний состоит в нахождении нагрузок, для которых свободное движение перестает быть ограниченным. Для рассмотренной выше колонны полный изгибающий момент в точке левой части уравнения (ср. с рис. 7)

где масса на единицу длины. Этот момент равен произведению кривизны и жесткости (правая часть уравнения). Дифференцируя (9.9) два раза по получаем

На обоих концах прогиб и момент равны нулю. Следовательно, для каждого

Общим решением (9.10) и (9.11) является функция

причем

Прогиб будет конечным, если все действительны. Следовательно,

Если нагрузка превышает это значение, то и неограниченно возрастает с течением времени как функция

Хотя в рассматриваемом случае основные результаты, полученные разными методами, одинаковы, между ними существует определенное различие. Метод равновесия приводит к выводу, что прогиб остается конечным даже для если только

Такой же результат получаем методом несовершенств. Однако метод колебаний дает более ограничивающий результат: для каждого прогибы неограничены.

Рис. 8

Описанные выше методы могут привести к совершенно разным результатам. В качестве примера рассмотрим вращающийся легкий стержень с массой на конце. Введем декартову систему координат, вращающуюся вместе со стержнем (рис. 8). Теперь на массу действуют центробежная сила сила Кориолиса и сила упругости где жесткости стержня. Потенциальная энергия равна работе внешних сил при произвольном движении от точки к точке Следовательно,

Уравнения движения следующие:

Запишем их решения

Анализ соотношений (9.17) приводит к выводу

В первом случае мнимые и согласно ограничены; во втором — действительное, а неограниченно возрастают в зависимости от времени. Итак, движение устойчиво, когда Видно, что при величина V не является положительно определенной и, несмотря на это, движение устойчиво.

Рис. 9

Рис. 10

Рассмотрим, наконец, движение шарика массы лежащего на гладкой горизонтальной плоскости. На шарик действует сопротивление воздуха Уравнение движения и его решение в этом случае будут следующими (ср. с рис. 9):

где постоянные. Итак, отклонения остаются ограниченными.

Если плоскость не является точно горизонтальной, то вместо (9.18) получим уравнение

которое не имеет решений, ограниченных по времени. Первая система с идеально горизонтальной плоскостью устойчива, вторая — неустойчива.

При зависимости нагрузки от времени результаты, к которым приводят упомянутые методы, еще больше различаются между собой. Для зависящей синусоидально от времени силы даже растягивающая сила может привести к неограниченным прогибам. Таким образом, совпадение результатов случайно и зависит от свойств рассматриваемой механической системы. Следует подчеркнуть, что намного более сложные системы, например плиты, могут работать при нагрузках, больших, чем критические. Интересующихся этим вопросом читателей отсылаем к монографиям о плитах и оболочках.