101. Примеры.

1. Тетраэдр -мерного пространства, ограниченный гиперплоскостями:

определяется неравенствами:

При получается обычный тетраэдр, ограниченный координатными плоскостями и плоскостью Введем новые переменные, положив

откуда следует

Старые переменные выражаются через новые по формулам:

Из этих формул непосредственно вытекает, что тетраэдр (24) можно заменить -мерным кубом:

2. Определим меру (объем) -мерного шара с центром в начале и радиусом , определяемого неравенством

Если совершить преобразование подобия с коэффициентом подобия к, то объем всякого куба умножится на а радиус умножится на к. Отсюда непосредственно следует, что искомая мера являющаяся функцией одного , должна иметь вид

где — численная постоянная, различная для различных Если пересечь шар (20) плоскостью постоянного j, то, как это видно из формулы (26), получится -мерный шар, квадрат радиуса которого равен

В силу (27), мера этого шара будет . Часть -мерного шара, заключенная между плоскостями будет иметь меру откуда вытекает следующее выражение для

или, совершая подстановку получим следующую связь между

где, как известно [I, 100],

Заменяя в (28) на , получим

Из написанных равенств вытекает при любом целом я:

Но, как известно, . Применяя формулу (29), получим отсюда