ГЛАВА VI. РЯДЫ ФУРЬЕ

§ 14. ГАРМОНИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

154. Ортогональность тригонометрических функций.

Гармоническое колебательное движение

представляет простейший пример периодической функции периода Мы ограничимся пока рассмотрением периодических функций периода и обозначим независимую переменную через так что функция у обратится в

Более сложные функции того же периода будут функции

равно как и сумма любого числа их:

которая называется тригонометрическим полиномом -го порядка,; естественно при этом возникает вопрос о приближенном представлении произвольной периодической функции периода в виде тригонометрического полинома порядка, а затем и вопрос о разложении функции в тригонометрический ряд

подобно аналогичным задачам приближенного выражения функции в виде многочлена степени или разложения ее в степенной ряд. Общий член этого ряда

называется гармоникой функции f(x). Его можно написать в виде

где

Гармоника нулевого порядка есть просто постоянная, которую мы для упрощения дальнейших формул обозначим через

Итак, наша задача заключается в том, чтобы подобрать, если возможно, неизвестные постоянные

так, чтобы ряд

был сходящимся и чтобы его сумма равнялась заданной периодической функции периода .

Для решения этого вопроса выясним одно простое свойство косинусов и синусов кратных дуг. Пусть с — любое вещественное число и любой промежуток длины Нетрудно доказать, что

Рассмотрим, например, первый из написанных интегралов. Первообразная функция для равна и, ввиду ее периодичности, ее значения при будут одинаковы, и разность этих значений будет нуль, т. е., действительно,

Совершенно так же, пользуясь известными формулами тригонометрии:

можно доказать, что

Рассмотрим семейство функций

причем первой из функций семейства является постоянная, равная единице. Формулы (2) и (3) выражают следующий факт: интеграл от произведения любых двух различных функций семейства (4) по любому промежутку длины равен нулю. Такое свойство называется обычно свойством ортогональности семейства (4) на указанном промежутке. Вычислим теперь интеграл от квадрата функций семейства (4). Для первой из функций этот интеграл равен очевидно а для остальных, в силу формул

мы будем иметь

В дальнейшем для определенности мы будем брать , т. е. роль промежутка будет у нас играть промежуток .

Вернемся теперь к поставленной выше задаче. Положим, что некоторая функция определенная в промежутке , а затем и при остальных значениях по закону периодичности с периодом является суммою ряда (1):

Интегрируя обе части этого равенства по промежутку и эаменяя интеграл от бесконечной суммы суммою интегралов от отдельных слагаемых, получим

и, в силу (2), это приводится к равенству

откуда определяется постоянная

Перейдем к определению остальных постоянных. Пусть — некоторое целое положительное число. Умножим обе части (6) на и проинтегрируем, как и выше

В силу (2) и (3) все интегралы в правой части равенства будут равны нулю, кроме одного, а именно кроме интеграла

а этот последний интеграл, в силу (S), будет равен

Формула (8), таким образом, приводится к виду

откуда

Совершенно так же можно получить формулы

Заметим, что формула (7) совпадает с формулой (7 при Мы можем, таким образом, написать

Вышеприведенные вычисления не являются строгими и имеют значение лишь как наводящие. Действительно, мы сделали ряд неоправданных предположений: во-первых, мы с самого начала предположили, что заданная функция разлагается в ряд (6), затем мы заменяли интеграл от бесконечной суммы суммой интегралов от отдельных слагаемых, или, как говорят, интегрировали ряд почленно, что не всегда можно делать

Строгая постановка задачи состоит в следующем. Пусть в промежутке нам задана функция По формулам (9) вычисляем, постоянные и подставляем значения этих постоянных в ряд (1). Спрашивается: будет ли полученный таким образом ряд сходящимся рядом в промежутке и если будет, то будет ли его сумма равна

Коэффициенты вычисляемые по формулам (9), называются коэффициентами Фурье функции а ряд, который получается из ряда (1) после подстановки вместо их значений из формул (9), называется рядом Фурье функции . Операция разложения данной функции в ряд Фурье называется гармоническим анализом»

В следующем номере мы формулируем решение поставленной выше задачи о сходимости ряда Фурье заданной функции.

Замечание. Указанные выше формулы (3) и (S) имеют место при интегрировании по любому промежутку длины Вообще, если функция определенная при всех вещественных значениях имеет некоторый период а, т. е. при всяком то интеграл от по любому промежутку длины а имеет определенное значение, не зависящее от начала этого промежутка, т. е. величина интеграла

не зависит от с. Действительно, число с мы можем представить в виде с , где — целое и h принадлежит промежутку (0, а):

В первом интеграле введем новую переменную интегрирования та, а во втором

Принимая во внимание периодичность и обозначая переменные интегрирования опять через получим

откуда и следует независимость интеграла от с. Если имеет период то мы можем вычислять ее коэффициенты Фурье по формулам (9), интегрируя по любому промежутку длины