83. Дифференцирование под знаком интеграла

Рассмотрим интеграл, зависящий от параметра у:

Пределы а и b будем считать пока независящими от у. Положим, что непрерывна и имеет непрерывную частную производную в прямоугольнике: Покажем, что при этих предположениях существует производная — которую можно получить, дифференцируя по у под знаком интеграла, т. е.

Приращение функции определяется формулой

Применяя формулу конечных приращений, получим

Принимая во внимание равномерную непрерывность функции в упомянутом выше прямоугольнике, можем написать

и утверждать, что равномерно по отношению к и у стремится к нулю, когда , т. е. при любом положительном

существует такое , что , если только Отсюда следует, между прочим, что

и ввиду произвольной малости мы имеем

Вернемся к формуле (14). Пользуясь (15) и (16), можем написать, принимая во внимание, что не зависит от х:

Деля на и переходя к пределу, получим, в силу (17),

т. e. формула (13) доказана. Заметим, что если предположить непрерывность только самой функции , то из формулы (14) и из того, что разность , равномерно по отношению и у стремится к нулю при вытекает уже, что есть непрерывная функция от у.

Рассмотрим теперь при прежних предположениях относительно интеграл

в котором и пределы интегрирования , принадлежащие промежутку (а, b), зависят от у, причем мы предположим, что эти функции имеют производную по у, а тем самым и непрерывны.

Обозначим через приращения, которые получают когда у получает приращение . Мы имеем

Заметив, что [I, 94]

мы можем переписать равенство (19) так:

При этих вычислениях мы предполагаем, конечно, что функция удовлетворяет указанным выше условиям при и при всех значениях которые принадлежат промежуткам интегрирования в написанных интегралах.

По теореме о среднем можем написать

Если , то и и, в силу непрерывности можем утверждать, что при этом

Подставив эти выражения в формулу (20) и пользуясь формулами (15) и (16), получим, деля на

Переходя к пределу, получим, в силу (17), следующую формулу для дифференцирования интеграла (18):

Если не зависят от у, то получается формула (13). Эта последняя формула справедлива и при дифференцировании кратного интеграла по параметру, если только область интегрирования (В) не зависит от параметра. Если, например, в двукратном интеграле по области (В) подынтегральная функция зависит не только от

переменной точки М интегрирования, но и от параметра t, то

При этом считается, что и суть непрерывные функции при изменении М в области (В), включая контур, и при изменении t в некотором промежутке.

Заметим, что при доказательстве формул (13) и (22) существенно, что промежуток интегрирования конечен. В примерах мы будем применять формулу (13) и для бесконечного промежутка. В дальнейшем мы укажем условия законности такого применения.

Из предыдущих формул вытекает также, что если суть непрерывные функции, то и интеграл (18) есть непрерывная функция от у.