199. Неограниченная цепь в общем случае.

Переходим теперь к рассмотрению телеграфного уравнения для неограниченной цепи. Предварительно заметим, что уравнение (21), которое мы получили в [196] для вспомогательной функции w, будет также уравнением, которому должны удовлетворять в отдельности напряжение v и ток .

Действительно, вернемся к основным уравнениям (1) и (2) и исключим . Для этого продифференцируем уравнение (1) по и подставим вместо его выражение, получаемое из уравнения (2)

и

Для v получаем уравнение (21)

Если бы мы стали исключать из уравнений (1) и (2) напряжение v, то получили бы для i такое же уравнение. Определив v, мы можем найти i так, чтобы оно удовлетворяло уравнениям (1) и (2). Например, пользуясь уравнением (2), получим

где интегрирование совершается по при постоянном — произвольная пока функция от t. Подставляя это выражение i в уравнение (1) и дифференцируя по параметру t под знаком интеграла, получим

Дифференцируя сумму первых трех слагаемых по в силу (51) получим нуль, т. е. эта сумма есть некоторая известная функция одного t, и для определения получаем линейное уравнение первого порядка. Произвольная постоянная, получаемая при его интегрировании, определяется обычно из начального условия.

Уравнение (51), как и выше [196], приводится к виду

при помощи подстановки

где

Если при нам заданы вдоль цепи v и то тем самым мы знаем при , а уравнения (I) и (2) дадут нам и при Таким образом, мы можем считать, что наряду с уравнением (51) мы имеем обычные начальные условия

Пользуясь (55), мы получаем следующие начальные условия для а:

Применяя для и формулу (47) и принимая во внимание (55), получим окончательно

где а и с указаны выше, и

Здесь, как и в случае колебания струны, мы имеем определенную скорость а распространения возмущения, так что если функции дающие начальное возмущение, отличны от нуля только в некотором конечном промежутке , и мы применим формулу (57) к точке где то будет равно нулю до момента времени Существенной разницей по сравнению со струной будет тот факт, что после прохождения заднего фронта начального возмущения функция не обратится ни в нуль, ни в постоянную, но будет функцией . Действительно, если то слагаемые формулы (59), стоящие вне знака интеграла, будут равны нулю, а интегралы останутся, и промежутком интегрирования будет постоянный промежуток Но все же переменные х и t будут входить под знаки интегралов в качестве параметров.

Если, например, при в цепи отсутствует ток, а потенциал v определяется функцией то, в силу уравнения (2), мы имеем

Если считать , т. е. пренебречь утечкой, то справа будет нуль.