218. Случай сферы.

Рассмотрим параллельно волновое уравнение и уравнение теплопроводности в случае сферы

считая, что начальные данные зависят только от расстояния точки до центра сферы

Предельные условия мы возьмем вида

где R — радиус сферы и . В силу центральной симметрии решения также не будут зависеть от полярных углов и будут, таким образом, функциями только от . Полагая

получим для одно и то же уравнение где Выражая оператор Лапласа в сферических координатах и принимая во внимание, что W зависит только от , получим уравнение

Вместо введем новую искомую функцию

Подставляя уравнение для W, получим для уравнение: откуда и, следовательно,

Принимая во внимание, что решение должно оставаться конечным в центре сферы, т. е. при мы должны считать и, подставляя в (52) и (53), получаем решения вида

Постоянная k и, тем самым, определяются из предельных условий (50) и (51).

Второе из них в применении к дает следующее уравнение для

При приходим к уравнению, получаемому из предельного условия (50):

Полагая мы видим, что уравнения (56) и (57) совершенно аналогичны уравнению (36). Пусть: - положительные корни уравнения (56). Принимая во внимание (55), получаем для :

Начальное условие (49) дает

Совершенно так же, как и в [216], функции ортогональны на промежутке и, следовательно, коэффициенты разложения (59) определяются формулами

Переходя к уравнению для мы по-прежнему обозначим через положительные корни уравнения (57). Здесь мы должны еще учесть и корень который соответствует частоте равной нулю. При этом вместо мы должны написать уравнение для будет есть постоянная, так что соответствующее решение уравнения (46) будет . Оно удовлетворяет, очевидно, при любых значениях постоянных предельному условию (50). Окончательно для а получим

Дифференцируя и полагая получим разложение функций, входящих в начальные условия (48)

Принимая во внимание уравнение (57), нетрудно проверить, что ортогональны не только между собой, но и с функцией на промежутке , т. е.

и коэффициенты в последних разложениях определяются по обычному правилу:

Аналогичные формулы получаются и для коэффициентов Отметим, что для уравнения (47) при мы получаем решение но это решение не удовлетворяет предельному условию (51), ибо по условию

Уравнение (46) мы можем толковать как уравнение для потенциала скорости и при колебании газа. При этом предельное условие (50) выражает тот факт, что скорость газовых частиц, находящихся на поверхности сферы, имеет составляющую, направленную по нормали к сфере, равную нулю.

Предельное условие (51) для уравнения теплопроводности (47) выражает тот факт, что поверхность сферы лучеиспускает в окружающее пространство, температура которого принимается равной нулю.