6. Линейные уравнения и уравнение Бернулли.

Линейным уравнением первого порядка называется уравнение вида

Рассмотрим сначала соответствующее уравнение без свободного члена :

Переменные здесь отделяются

я мы получим

Заменяем неопределенный интеграл определенным с переменным верхним пределом:

Если имеется начальное условие

то . Для интегрирования уравнения (25) воспользуемся так называемым способом изменения произвольной постоянной Лагранжа, а именно — будем искать решение этого уравнения в виде (29):

считая только и не постоянной, а искомой функцией от х. Дифференцируя, находим

Подставив в уравнение (28), получим

и окончательно получаем

При определении у по этой формуле надо брать одно из значений неопределенных интегралов

так как прибавление к ним произвольных постоянных изменяет только значение С

Заменяя их определенным интегралом с переменным верхним пределом [I, 96], можем переписать формулу (31) так:

Для ясности мы обозначаем переменные интегрирования различными буквами и и v, отличными от буквы х.

Если задано начальное значение (30) искомого решения при то формула (32) дает вполне определенное решение

Во всем предыдущем мы считали, что непрерывна в некотором промежутке содержащем точку . Из (33) вытекает следующий важный факт: решение существует во всем промежутке 1 изменения . Из формулы (32) следует, что решения линейного дифференциального уравнения имеют вид

т. е. у есть линейная функция произвольной постоянной.

Пусть у, есть решение уравнения (28). Полагая

получим для z уравнение

Сумма, стоящая в квадратных скобках, равна нулю, так как, по предположению, есть решение уравнения (28). Следовательно, z есть решение соответствующего уравнения без свободного члена и определяется по формуле (29), а тогда:

Положим теперь, что известно еще второе решение у уравнения (28), и пусть это решение получается из формулы (36) при

Исключая из равенств (36) и получим выражение всех решений линейного уравнения через его два решения

где произвольная постоянная, заменяющая в прежних обозначениях. Из последнего уравнения вытекает следующее соотношение:

которое показывает, что отношение есть величина постоянная,

т. е. семейство интегральных кривых линейного уравнения есть семейство кривых, делящих в постоянном отношении отрезок ординаты между какими-либо двумя кривыми этого семейства.

Рис. 6.

Таким образом, если известны две интегральные кривые линейного уравнения, то всякая другая интегральная кривая L определяется постоянным значением отношений (рис. 6)

В силу этого равенства хорды и должны или пересекаться в одной точке, или быть параллельными. При беспредельном приближении отрезка ординаты к отрезку направление этих хорд перейдет в направление касательных к кривым в точках и мы получаем следующее свойство касательных к интегральным кривым линейного уравнения: касательные к интеграл кривым линейного уравнения в точках пересечения этих кривых прямой, параллельной оси OY, или пересекаются в одной точке, или параллельны.

Пример. Рассмотрим процесс устанавливающегося переменного тока цепи с самоиндукцией. Пусть сила тока, v — напряжение, сопротивление цепи и Z — коэффициент самоиндукции.

Имеет место соотношение

откуда для t получаем динейиое уравнение

Считая и L постоянными заданной функцией времени вычисляем интегралы, входящие в формулу (33):

Обоэначив через начальное значение , т. е. значение силы тока при подучим, согласно (33), формулу для определения i в любой момент времени

При постоянном напряжении v будем иметь

При возрастании t множитель быстро убывает, и практически через короткий промежуток времени процесс можно будет считать установившимся, причем сила тока определяется по закону Ома: .

В частности, при подучим формулу

для силы тока при замыкании цепи.

Постоянную называют временной постоянной рассматриваемой цепи. Рассмотрим напряжение v синусоидального характера Согласно формуле (33), получим

Нетрудно видеть, что

и, следовательно,

Подставляя в выражение , получим

Первое слагаемое, содержащее множитель быстро затухает, и практически через короткий промежуток времени после сила тока будет определяться суммой двух остальных слагаемых формулы (38). Эта сумма представляет собою синусоидальную величину той же частоты что в напряжение но с другими амплитудой и фазой. Заметим также, что эта сумма, дающая установившийся процесс тока, не зависит от начального значения тока

Обобщением линейного дифференциального уравнения (28) является уравнение Бернулли:

причем показатель степени можно считать отличным от нуля и единицы, так как в этих случаях уравнение будет линейным. Делим обе части на

и вводим вместо у новую искомую функцию

При этом уравнение приведется к виду

где

т. е. подстановкой уравнение Бернулли (39) приводится к линейному и интегрируется затем как линейное.

Отметим, что интегрирование дифференциального уравнения вида

которое называется уравнением Рикатти не приводится при произвольных коэффициентах к квадратурам. Его можно привести к линейному уравнению, если известно его какое-либо частное решение. Действительно, пусть решение уравнения (40), т. е.

Введем в уравнение (40) вместо у новую искомую функцию и по формуле

Подставляя в (40) и принимая во внимание равенство (41), получим Для и линейное уравнение вида

Общий интеграл этого уравнения имеет вид

Подставляя это выражение и в написанное выше равенство для у, получим общий интеграл уравнения Рякатти в виде