6. Линейные уравнения и уравнение Бернулли.
Линейным уравнением первого порядка называется уравнение вида
Рассмотрим сначала соответствующее уравнение без свободного члена
:
Переменные здесь отделяются
я мы получим
Заменяем неопределенный интеграл определенным с переменным верхним пределом:
Если имеется начальное условие
то
. Для интегрирования уравнения (25) воспользуемся так называемым способом изменения произвольной постоянной Лагранжа, а именно — будем искать решение этого уравнения в виде (29):
считая только и не постоянной, а искомой функцией от х. Дифференцируя, находим
Подставив в уравнение (28), получим
и окончательно получаем
При определении у по этой формуле надо брать одно из значений неопределенных интегралов
так как прибавление к ним произвольных постоянных изменяет только значение С
Заменяя их определенным интегралом с переменным верхним пределом [I, 96], можем переписать формулу (31) так:
Для ясности мы обозначаем переменные интегрирования различными буквами и и v, отличными от буквы х.
Если задано начальное значение (30) искомого решения при
то формула (32) дает вполне определенное решение
Во всем предыдущем мы считали, что
непрерывна в некотором промежутке
содержащем точку
. Из (33) вытекает следующий важный факт: решение
существует во всем промежутке 1 изменения
. Из формулы (32) следует, что решения линейного дифференциального уравнения имеют вид
т. е. у есть линейная функция произвольной постоянной.
Пусть у, есть решение уравнения (28). Полагая
получим для z уравнение
Сумма, стоящая в квадратных скобках, равна нулю, так как, по предположению,
есть решение уравнения (28). Следовательно, z есть решение соответствующего уравнения без свободного члена и определяется по формуле (29), а тогда:
Положим теперь, что известно еще второе решение у уравнения (28), и пусть это решение получается из формулы (36) при
Исключая
из равенств (36) и
получим выражение всех решений линейного уравнения через его два решения
где
произвольная постоянная, заменяющая
в прежних обозначениях. Из последнего уравнения вытекает следующее соотношение:
которое показывает, что отношение есть величина постоянная,
т. е. семейство интегральных кривых линейного уравнения есть семейство кривых, делящих в постоянном отношении отрезок ординаты между какими-либо двумя кривыми этого семейства.
Рис. 6.
Таким образом, если известны две интегральные кривые
линейного уравнения, то всякая другая интегральная кривая L определяется постоянным значением отношений (рис. 6)
В силу этого равенства хорды
и
должны или пересекаться в одной точке, или быть параллельными. При беспредельном приближении отрезка ординаты
к отрезку
направление этих хорд перейдет в направление касательных к кривым в точках
и мы получаем следующее свойство касательных к интегральным кривым линейного уравнения: касательные к интеграл
кривым линейного уравнения в точках пересечения этих кривых прямой, параллельной оси OY, или пересекаются в одной точке, или параллельны.
Пример. Рассмотрим процесс устанавливающегося переменного тока
цепи с самоиндукцией. Пусть
сила тока, v — напряжение,
сопротивление цепи и Z — коэффициент самоиндукции.
Имеет место соотношение
откуда для t получаем динейиое уравнение
Считая
и L постоянными
заданной функцией времени
вычисляем интегралы, входящие в формулу (33):
Обоэначив через
начальное значение
, т. е. значение силы тока при
подучим, согласно (33), формулу для определения i в любой момент времени
При постоянном напряжении v будем иметь
При возрастании t множитель
быстро убывает, и практически через короткий промежуток времени процесс можно будет считать установившимся, причем сила тока определяется по закону Ома:
.
В частности, при
подучим формулу
для силы тока при замыкании цепи.
Постоянную
называют временной постоянной рассматриваемой цепи. Рассмотрим напряжение v синусоидального характера
Согласно формуле (33), получим
Нетрудно видеть, что
и, следовательно,
Подставляя в выражение
, получим
Первое слагаемое, содержащее множитель
быстро затухает, и практически через короткий промежуток времени после
сила тока будет определяться суммой двух остальных слагаемых формулы (38). Эта сумма представляет собою синусоидальную величину той же частоты
что в напряжение
но с другими амплитудой и фазой. Заметим также, что эта сумма, дающая установившийся процесс тока, не зависит от начального значения тока
Обобщением линейного дифференциального уравнения (28) является уравнение Бернулли:
причем показатель степени
можно считать отличным от нуля и единицы, так как в этих случаях уравнение будет линейным. Делим обе части на
и вводим вместо у новую искомую функцию
При этом уравнение приведется к виду
где
т. е. подстановкой
уравнение Бернулли (39) приводится к линейному и интегрируется затем как линейное.
Отметим, что интегрирование дифференциального уравнения вида
которое называется уравнением Рикатти не приводится при произвольных коэффициентах к квадратурам. Его можно привести к линейному уравнению, если известно его какое-либо частное решение. Действительно, пусть
решение уравнения (40), т. е.
Введем в уравнение (40) вместо у новую искомую функцию и по формуле
Подставляя в (40) и принимая во внимание равенство (41), получим Для и линейное уравнение вида
Общий интеграл этого уравнения имеет вид
Подставляя это выражение и в написанное выше равенство для у, получим общий интеграл уравнения Рякатти в виде