63. Криволинейные координаты в пространстве.

В общем случае криволинейных координат в пространстве положение точки определяется тремя числами связанными с прямоугольными координатами х, у, z по формулам

Придавая различные постоянные значения, получим три семейства координатных поверхностей. Элемент объема будет

образован тремя парами бесконечно близких координатных поверхностей. Не останавливаясь на доказательстве, приведем результат, аналогичный результату из [60], для двух измерений. Упомянутый элементарный объем можно рассматривать с точностью до бесконечно малых высших порядков как параллелепипед, и если мы решим (21) относительно

то выражение будет

и формула замены переменных в трехкратном интеграле будет выглядеть так:

где получается из f(x, у, z) в результате преобразования функциональный определитель от х, у, z по

Так же, как и в [60], формулы (21) можно рассматривать иначе как деформацию пространства, причем точка с прямоугольными координатами переходит в точку с прямоугольными координатами При таком толковании дает коэффициент изменения» объема в данном месте при переходе от .

Приведение тройного интеграла в координатах к трем квадратурам и определение пределов в этих квадратурах производится аналогично тому, как это делалось в случае двойного интеграла [60].

Для читателя, знакомого с понятием определителя, заметим, что выражение D может быть написано в виде следующего определителя третьего порядка:

В томе III мы подробно займемся такими определителями.

Пример. Пусть имеется тетраэдр ограниченный координатными плоскостями и плоскостью и определяемый неравенствами

Введем новые переменные

и будем толковать как прямолинейные прямоугольные координаты. Из написанных формул следует

или

Совершенно так же, как и в [60], нетрудно видеть, что тетраэдр переходит в куб . Нетрудно и здесь определить так что формула преобразования будет

или, если определить пределы интегрирования,