49. Уравнения, приводящиеся к уравнению Бесселя

Укажем некоторые уравнения, которые приводятся к уравнению Бесселя (16) заменой переменных. Рассмотрим уравнение вида

где - некоторая постоянная, отличная от нуля. Введем вместо X новую независимую переменную . При этом надо будет в уравнении (28;

так что уравнение (28) перепишется:

или

а это есть уравнение Бесселя (16) с независимой переменной Таким образом, в силу общий интеграл уравнения (28) будет

или, если есть целое положительное число или нуль,

Приведем еще обширный класс уравнений, приводящихся к уравнения» Бесселя. Для этого введем в уравнение (16) новую независимую переменную t и новую функцию и по формулам

где — постоянные, причем и отличны от нуля. Дифференцируя, имеем очевидные равенства

и, кроме того,

Подставляя выражения и в уравнение (16) и заменяя их последними выражениями через и получим, после элементарных преобразований, уравнение для u:

Уравнение (16) имело общий интеграл

и следовательно, в силу уравнение (31) будет иметь общий интеграл

причем, если целое положительное число или нуль, то надо заменить на

Уравнение (31) есть уравнение вида

причем

Можно, наоборот, для любого заданного уравнения вида при условии, что постоянные с и отличны от нуля, найти по формулам и выразить общий интеграл уравнения согласно формуле (32), через функции Бесселя.

Если с или равно нулю, то уравнение (33) есть уравнение Эйлера и приводится, следовательно, просто к уравнению с постоянными коэффициентами.

Рассмотрим частный случай уравнения (33)

Умножая уравнение на видим, что в данном случае а произвольно, Уравнения (34) будут

откуда можно считать

и, согласно (32), общий интеграл (33) будет

причем, если, например, значок окажется целым отрицательным или нулем, то надо заменить на При уравнение (35) совпадает с уравнением (24).

Вообще уравнение (33) дает обширный класс линейных уравнений, часто встречающихся в приложениях, общий интеграл которых выражается, как мы видим, через функции Бесселя.