115. Скалярное произведение.

Скалярным произведением двух векторов А и В называется скаляр, величина которого равна произведению величин этих векторов, умноженному на косинус угла, образованного ими.

Скалярное произведение обозначают символом так что

Из этого определения непосредственно следует, что

т. е. для скалярного произведения имеет место переместительный закон.

Нели векторы А и В образуют прямой угол, то, очевидно

В частности, для основных векторов будем иметь

Если векторы А и В имеют одно и то же направление, то

а если их направления противоположны, то

В частности,

и

Скалярное произведение выражается через слагающие векторов следующим образом

т. е. скалярное произведение двух векторов равно сумме произведений соответствующих слагающих этих векторов.

Заметим, что левая часть написанного равенства не зависит от выбора координатных осей, а потому и правая часть также не зависит от выбора координатных осей, что по виду этой части не очевидно.

При выводе формулы (6) мы воспользовались известной из аналитической геометрии формулой для угла между двумя направлениями [114].

Нетрудно показать, что для скалярного произведения имеет место и распределительный закон, т. е. соотношение

Действительно, пользуясь только что выведенным выражением скалярного произведения, можем написать

Из распределительного свойства непосредственно вытекает и более общая формула

выражающая обычное правило раскрытия скобок при перемножении многочленов.