87. Равномерно сходящиеся интегралы.

Если подынтегральная функция несобственного интеграла зависит от параметра то числа о которых говорилось в общих признаках 1 и 2 из [85], вообще говоря, зависят от у. Если при изменении у в промежутке числа и N в условиях

можно выбрать независимо от значений у, то несобственные интегралы

называются равномерно сходящимися относительно у.

В частности, интегралы, которые встречаются при применении признаков Коши, будут равномерно сходящимися, постоянные не зависят от у.

Всякий сходящийся несобственный интеграл мы можем представить в виде сходящегося ряда, каждый член которого есть уже обычный интеграл. Этим приемом мы уже пользовались в предыдущем. Обратимся к первому из интегралов (43). Задав ряд положительных, убывающих и стремящихся к нулю чисел

можем написать

где

В случае второго из интегралов (43), задав ряд беспредельно возрастающих чисел

будем иметь

Из определения равномерной сходимости интеграла и ряда [I, 143] непосредственно вытекает, что если несобственный интеграл сходится равномерно, то и соответствующий ему ряд будет равномерно сходящимся при любом выборе чисел (44) или (47). Действительно, например, сумма далеких членов ряда (45) равна интегралу по отрезку, близкому к b, для которого соблюдено неравенство (41).

Свойства равномерно сходящихся интегралов аналогичны свойствам равномерно сходящихся рядов [I, 146]. Для определенности формулируем их для второго из интегралов (43), но сказанное применимо и для первого.

1) Если функция f(x, у) непрерывна при и при изменении у в некотором конечном промежутке и интеграл

равномерно сходится, то он есть непрерывная функция от у при

2) При тех же условиях имеет место и формула интегрирования под знаком интеграла:

3) Если при непрерывности интеграл (49) сходится, а интеграл

сходится равномерно, то имеет место формула дифференцирования под знаком интеграла:

Докажем для примера свойства 1) и 3). Члены ряда (48)

по доказанному в [83], суть непрерывные функции, и, в силу равномерной сходимости интеграла, этот ряд сходится равномерно, и, следовательно, сумма ряда, т. е. интеграл (49), тоже есть непрерывная функция [I, 146].

Для доказательства (3) заметим, что из [83] следует, что интегралы (53) можно дифференцировать под знаком интеграла, т. е.

Но, в силу равномерной сходимости интеграла (51), мы имеем равномерно сходящийся ряд

Игпк, ряд (48) сходится, а ряд из производных сходится равномерно. Отсюда следует [I, 146), что сумма ряда (54) есть производная от суммы ряда (48), что и приводит к формуле (52).

Укажем простой признак абсолютной и равномерной сходимости несобственного интеграла, аналогичный признаку абсолютной и равномерной сходимости ряда . Сделаем это для второго из интегралов . Аналогичный признак имеет место и для первого интеграла.

Пусть, как всегда, непрерывна при и Пели существует такая непрерывная при а и положительная функция что при и интеграл

сходится, то интеграл (49) сходится абсолютно и равномерно (относительно у). В силу сходимости (55) при любом заданном существует N такое, что

причем это N не зависит от у, так как не содержит у. Но из вытекает

т. е. то же самое N, не зависящее от, годится и для интеграла (49) и даже для иитеграла

что и доказывает наше утверждение.