2. Определение решения по начальному условию. Теорема существования и единственности.

Простейшее уравнение (5) имеет бесчисленное множество решений, поскольку в формулу (6) входит произвольная постоянная. Но нетрудно показать, что мы получим вполне определенное решение уравнения (5), если поставим так называемое накальное условие, а именно потребуем, чтобы искомая функция у принимала заданное значение при заданном значении Это начальное условие запишем в виде

Действительно, пусть непрерывная на некотором промежутке Функция и точка принадлежит L Заменяя в формуле (6) неопределенный интеграл определенным с переменным верхним пределом и нижним пределом вместо (6) получим

Первое слагаемое обращается нуль при и чтобы удовлетворить условию (8), надо положить Таким образом, уравнение (5) при начальном условии (8) имеет единственное решение

Отметим, что это решение имеет место всем промежутке

Аналогично, если мы имеем общий интеграл (7) какого-либо уравнения (2), то для удовлетворения начальному условию (8) надо определить произвольную постоянную С из равенства

Обратимся теперь к геометрической интерпретации. Положим, что функция определена в некоторой области В плоскости XOY и в этой области однозначна и непрерывна. В каждой точке принадлежащей В, из уравнения (2) определяется, как мы уже упоминали, угловой коэффициент у касательной к искомой интегральной кривой. Через точку проведем небольшой отрезок прямой, образующий с осью ОХ такой угол , что и придадим этому отрезку какое-либо направление (переход к противоположному направлению не изменит ). Мы видим, что уравнение (2) равносильно определению в области В поля направлений т. е. в каждой точке области В уравнение (2) определяет некоторое направление. Интегральные кривые уравнения (2) суть кривые лежащие в области В и обладающие следующим свойством: в каждой точке касательная к l имеет направление, определяемое указанным выше полем направлений. Начальное условие (8) сводится к требованию, чтобы интегральная кривая проходила через заданную точку находящуюся в . Приведем теперь геометрические соображения, из которых наглядно, но не строго логически, следует, что через заданную точку проходит одна и только одна интегральная кривая.

Рис. 1.

Разобьем плоскость XOY прямыми X (рис. 1), параллельными осям, на малые квадраты так, чтобы точка лежала в вершине одного из этих квадратов (это — несущественно). Из точки проводим в направлении возрастания отрезок прямой с угловым коэффициентом до ближайшего пересечения с одной из прямых сетки квадратов. Пусть координаты точки . Из проводим в направлении возрастания отрезок прямой с угловым коэффициентом до ближайшего пересечения с одной из прямых сетки квадратов и т. д.

Это построение можно выполнить r в направлении убывания Построенная таким образом ломаная линия и представляет приближенно для близких к искомую интегральную кривую уравнения (2), проходящую через точку Это построение делает весьма вероятным тот факт, что через всякую точку из В проходит одна и только одна интегральная кривая. Это утверждение справедливо и будет дальше доказано, если обладает кроме непрерывности еще некоторым свойством.

Положим для определенности, что В — открытая область, т. е. область, к которой мы не причисляем ее границы (В может быть и всей плоскостью). Имеет место следующая теорема.

Теорема А, Если f(x, у) непрерывна и имеет непрерывную частную производную по у в В, то через каждую точку, принадлежащую В, проходит одна и только одна интегральная кривая уравнения (2).

Теорема эта, которую мы пока примем без доказательства, называется обычно теоремой существования и единственности решения дифференциального уравнения (2) при заданном начальном условии.

В дальнейшем, для краткости, сформулированную теорему мы будем называть теоремой А. В конце следующей главы мы приведем доказательство этой теоремы и. ряд дополнений к ней. Укажем, как надо понимать утверждение единственности решения при заданном начальном условии. Пусть суть два решения уравнения (2), удовлетворяющие условию (8), причем первое определено на некотором промежутке а второе на промежутке изменения а точка принадлежит этим промежуткам. При этом на общей части промежутков должно иметь место тождество Предполагается, конечно, что интегральные кривые не выходят из области В, где определена и удовлетворяет указанным в теореме условиям.

В следующих разделах мы укажем некоторые частные типы дифференциальных уравнений, интегрирование которых приводится к вычислению неопределенных интегралов или, как говорят, их интегрирование приводится к квадратурам. Отметим, что вычисление интеграла связано с вычислением площади, откуда и происходит термин «квадратура». При рассмотрении упомянутых частных типов мы приведем ряд примеров, на которых мы проиллюстрируем указанные выше соображения, связанные с теоремой А.