212. Формула Кирхгофа.

Формула (13) дает для гармонической внутри поверхности (S) функции значение во всякой внутренней точке в виде интеграла по поверхности (S). Можно получить аналогичную формулу и для функции удовлетворяющей волновому уравнению

Положим, что функция непрерывна со своими производными до второго порядка в области (D), ограниченной поверхностью (S), при всех Пусть — некоторая фиксированная точка внутри . Обозначим через — расстояние от до переменной точки М. Применим общую формулу (9) к функции

или, короче,

Если есть некоторая функция от t, то обозначим символом ту функцию, которая получится из о заменой t на

Обычно называют запаздывающим значением функции Смысл этого станет понятным, если считать, что а есть скорость распространения некоторого процесса.

При таком обозначении мы можем формулу (69) или (70) записать в виде: При дифференцировании функции (69) по координатам надо принимать во внимание, что зависит от координат как непосредственно, так и через посредство , которое входит в четвертый аргумент. Таким образом мы будем иметь

Точно так же, пользуясь выражением оператора Лапласа в полярных координатах с центром

и принимая во внимание, что

получим

Но, в силу (68), мы имеем и следовательно,

Нетрудно показать, что

есть расходимость некоторого вектора:

Действительно, мы имеем формулу [112]:

В данном случае есть вектор длины направленный по радиусу-вектору из . Скалярное произведение есть произведение на проекцию на направление А, т. е. на производную от по направлению вектора А. Итак, в данном случае будем иметь

Применяя (72) и дифференцируя правилу дифференцирования сложных функций, мы и докажем справедливость формулы (73). Применяя затем формулу Остроградского и принимая во внимание, что получим

Подставляя это выражение и выражение (71) в правую часть формулы (9) и принимая во внимание, что так как в точке мы имеем , получим формулу Кирхгофа

Формула эта выражает через запаздывающие значения V, и . на поверхности (S). В данном случае, как и в формуле (9) для гармонических

функций, присутствие не дает возможности применять формулу (74) непосредственно для решения задач, связанных с волновым уравнением. Формула (74), данная Кирхгофом, тесно связана с принципом Гюйгенса.

Положим, что (S) есть сфера с центром и радиусом . В этом случае и формула (74) переписывается в виде

или, полагая

Если взять радиус сферы равным , то , т. е. запаздывающее значение сводится к значению функции при , и формула (75) дает формулу Пуассона (81) из [184], решающую задачу о распространении колебаний в безграничном пространстве при заданных начальных условиях

причем значок нуль указывает, что надо брать и V при и интегрирование производится по сфере с центром и радиусом . Вид формулы Кирхгофа (74) тесно связан с понятием запаздывающего потенциала. Выше мы видели, что при любом выборе функции , имеющей непрерывные производные до второго порядка, функция

есть решение уравнения (68). При этом есть расстояние от любой фиксированной точки пространства до переменной точки [188].

Совершенно аналогично предыдущему можно построить формулу Кирхгофа и для любого решения неоднородного волнового уравнения

в области D, и эта формула, кроме поверхностного интеграла, будет содержать и тройной

Применяя эту формулу к сфере с центром и радиусом для решения, удовлетворяющего нулевым начальным данным при получим формулу (91) из [187].