205. Решение задачи Дирихле для круга.

В предыдущем параграфе мы видели, что задача Дирихле может иметь только одно решение, но мы еще не знаем, имеет ли она вообще решение. Не рассматривая этого вопроса в общем случае, мы ограничимся лишь частными случаями. При этом мы применим к решению задачи различные методы. Начнем с плоского случая.

Пусть требуется найти функцию, гармоническую внутри круга и принимающую на окружности этого круга наперед заданные значения. Пусть - радиус этого круга, и примем центр круга за начало координат. При этом заданные предельные значения на окружности круга будут представлять собою некоторую известную непрерывную функцию полярного угла на окружности . Берем внутри круга переменную точку М с полярными координатами Искомая функция должна удовлетворять уравнению Лапласа [131]:

или

Применим в данном случае метод Фурье и будем искать решение уравнения (17) в виде произведения функции только от 0 на функцию только от :

Подставляем это выражение в уравнение (17):

или

Левая часть написанного уравнения содержит одну независимую переменную , а правая — независимую переменную и, следовательно, обе части должны равняться одной и той же постоянной, которую мы обозначим через Таким образом получаем два уравнения

Первое из них при дает

Второе — есть уравнение Эйлера [42]. Ищем его решение в виде

откуда, сокращая на , получаем и общий интеграл уравнения будет

если только постоянная k отлична от нуля. Подставив в формулу (18), получим для U выражение

При k = 0 будем иметь уравнения

и, как нетрудно показать, получим

В формулах (19) и — постоянные, к определению которых мы сейчас и переходим. Заметим, что прибавление к углу величины равносильно обходу вокруг начала координат. При этом однозначная функция должна вернуться к исходному значению, т. е. в формуле (19) первый множитель, зависящий от 0, должен быть периодической функцией от с периодом Отсюда следует, что постоянная k может принимать только целые значения

Но если подставить в формулу или , то ввиду произвольности коэффициента В результат получится по существу один и тот же, и поэтому мы можем ограничиться только целыми положительными значениями постоянной k (характеристические числа задачи), т. е.

Периодичность решения требует, чтобы постоянная В была равна нулю. Таким образом мы приходим к следующим решениям

причем постоянные могут быть различными при различных значениях целого числа , почему мы и снабдили их значками. Обращаясь теперь ко второму множителю, зависящему от , заметим, что искомое решение должно быть конечным и непрерывным в центре круга, т. е. при Отсюда следует, что все постоянные необходимо положить равными нулю. Обозначая произвольные постоянные через через через мы можем написать решения в виде

В силу линейности и однородности уравнения Лапласа сумма этих решений будет также решением, т. е. мы получаем решение

вида

Определим теперь произвольные постоянные по заданному предельному условию

где заданная в промежутке непрерывная функция, причем . Это условие дает

Отсюда видно, что суть коэффициенты Фурье функции в промежутке длины , например в промежутке . Вычисляя их по известным формулам

и подставляя найденные отсюда значения в формулу (20), получим искомое решение задачи Дирихле.

Сравнивая ряд Фурье (22) с формулой (20), дающей решение задачи, можем формулировать полученный результат следующим образом: чтобы получить решение задачи Дирихле для круга, надо написать ряд Фурье для предельных значений и умножить член этого ряда на множитель

Вместо бесконечного ряда (20) решение можно представить в виде определенного интеграла. Подставляем в формулу (20) выражения коэффициентов (23):

или

Формула (14) из [I, 174] дает непосредственно

Заменяя на , получим окончательно следующее выражение для :

Заметим, что если бы обозначали обе части уравнения (18,) не через а через , то в выражении (19) вместо мы получили бы , а эта последняя функция не является периодической ни при каком вещественном k.

При выводе формулы (25) мы предполагали, что решение задачи Дирихле, т. е. искомая функция существует. Кроме того, мы пользовались разложением в ряд Фурье (22), что не обязательно имеет место, и в это разложение непосредственно подставляли . Все это заставляет нас проверить формулу (25), т. е. мы должны показать, что интеграл, стоящий в правой части формулы (25), дает гармоническую функцию внутри круга и что суть предельные значения этой функции на окружности этого круга. Отметим, что интеграл формулы (25) называется обычно интегралом Пуассона.