29. Линейные неоднородные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

Рассмотрим теперь неоднородное уравнение

где — по-прежнему заданные вещественные числа и заданная функция от . Для нахождения общего интеграла этого уравнения достаточно найти его частное решение и сложить его с общим интегралом соответствующего однородного уравнения (20). Поскольку общий интеграл однородного уравнения известен, можно при помощи квадратур найти это частное решение, пользуясь методом изменения произвольных постоянных [26]. Проделаем это, например, для уравнения вида

Общий интеграл соответствующего однородного уравнения определяется формулой (31), и нам надо искать частное решение уравнения (33) в виде

где - искомые функции от . Уравнения (16) дают в данном случае для производных этих функций систему двух уравнений первой степени

Решая ее, получим

Напишем первообразные функции в виде интеграла с переменным верхним пределом и обозначим через 5 переменную интегрирования

где — некоторое фиксированное число. Подставляя в формулу (34), получим частное решение

или, внося множители, не зависящие от переменной интегрирования, под знак интеграла,

и общий интеграл уравнения (33) будет

Сделаем по поводу формулы (34) два замечания. Переменная входит в правую часть этой формулы двояким образом. Во-первых, х является верхним пределом интеграла и, во-вторых, она входит под знак интеграла не как переменная интегрирования, но как добавочный параметр, который считается постоянным при интегрировании. Далее, нетрудно показать, что частное решение (34 удовлетворяет нулевым начальным условиям при т. е.

Первое из этих равенств непосредственно вытекает из (342), так как при верхний предел интеграла совпадает с нижним, и интеграл равен нулю. Чтобы проверить второе равенство, определим и из формулы (340, помня, что производная от интеграла по верхнему пределу равна подынтегральной функции при верхнем пределе. После очевидного сокращения получим

откуда и вытекает непосредственно вторая из формул .