Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
90. Примеры.1. Рассмотрим интеграл
где
Если случае сходимость можно доказать, пользуясь достаточным условием, указанным в предыдущем номере. При 2. Рассмотрим интеграл
где
И при
Рис. 74. 3. Притяжение, оказываемое массой на точку, расположенную она или внутри нее (рис. 74). Пусть масса притягиваемой точки
причем постоянную тяготения мы считаем равной единице. Так как указанная сила притяжения имеет направление отрезка СМ, то проекции этого элементарного притяжения на координатные оси будут:
Проекции же полного притяжения будут иметь приближенные выражения
Обозначив через
и окончательно, увеличивая число элементов и уменьшая беспредельно каждый из них:
Обращаем внимание на то, что в написанных интегралах переменными интегрирования являются координаты области (v), и плотность
и являются параметрами, так что величины Если точка С находится вне притягивающей массы, величина
число Тем более будет иметь смысл и интеграл
выражающий потенциал рассматриваемой массы в точке С (С этим понятием мы познакомимся подробнее ниже.) 4. Мы имеем очевидные формулы
а потому интегралы (66) можно переписать в виде:
т. е. эти интегралы получаются путем дифференцирования интеграла (68) по
Дифференцируя потенциал U второй раз по и помня, что
Эти формулы справедливы только в том случае, если точка
и к интегралам (69) не будет уже применим признак сходимости из (90], т. е. если С внутри
Рис. 75. Складывая равенства (70), будем иметь
и, следовательно, складывая равенства (69), справедливые, если С вне
Итак, потенциал объемных масс 5. Рассмотрим случай однородного шара радиуса а
Но очевидно
Мы выполним сперва интегрирование по
Введем вместо 0 переменную
Итак, оказывается
Подставляя это в (72), мы должны различить два случая: 1) Точка С находится вне сферы или на ее поверхности; тогда и в промежутке (0, а) все значения
где m есть полная масса шара. 2) Точка С находится внутри сферы (рис. 76); здесь промежуток (0, а) нужно разбить на два:
при z = a, т. е. когда точка находится на поверхности шара, обе формулы (74) и (75) дают одинаковую величину для U, что доказывает непрерывность функции U. Переходим к вычислению притяжения. В силу симметрии, оно должно быть направлено по оси
Рис. 76. Когда точка С находится вне шара, мы пользуемся формулой (74):
когда же точка С находится внутри шара, применяем формулу (75):
При Формулы (74), (76), (77) показывают, что потенциал и притяжение однородного шара в точке вне шара можно получить, сосредоточив всю массу шара в его центре. Притяжение же в точке внутри шара пропорционально расстоянию притягиваемой точки от центра шара. Для простоты вычислений мы выбрали оси координат специальным образом, направив ось
Первое из выражений для U очевидно удовлетворяет уравнению (71). Дифференцируй второе выражение дна раза по х, у и z, получим
Как мы увидим в дальнейшем, это уравнение оказывается справедливым Я для любого объема 6. Положим, что притягивающие массы распределены по поверхности (S) с поверхностной плотностью
и для проекций притяжения
Потенциал (79) называется обычно потенциалом простого слоя. Выше мы рассматривали тот случай, когда С находится не на (S) (внутри или вне
|
1 |
Оглавление
|