16. Графические способы интегрирования дифференциального уравнения второго порядка.

Всякому решению дифференциального уравнения порядка соответствует некоторая линия на плоскости XOY, которую мы будем называть, как и для уравнения первого порядка, интегральной линией (кривой) этою уравнения. Самому дифференциальному уравнению первою порядка соответствовало поле направлений [2]. Выясним теперь геометрический смысл уравнения второго порядка

Пусть s — длина дуги интегральной кривой и а — угол, образованный положительным направлением касательной с положительным направлением оси ОХ.

Мы имеем

и, дифференцируя по x, получим

но da/ds есть, как известно [I, 71], кривизна кривой

и предыдущее равенство дает

Здесь R положительно, если а возрастает вместе с s, и отрицательно, если а убывает при возрастании

Положим, например, что ось ОХ направлена вправо и ось ОY наверх (рис. 12). При этом, если то кривая будет при возрастании закручиваться справа налево (против часовой стрелки), а при — в противоположную сторону.

Рис. 12.

Согласно формуле (12), дифференциальное уравнение (10) можно переписать так:

Отсюда видно, что дифференциальное уравнение второго порядка дает величину радиуса кривизны, если заданы положение точки и направление касательной в этой точке.

Из этого обстоятельства вытекает способ приближения к интегральной кривой уравнения второго порядка при помощи кривой с непрерывно меняющейся касательной и составленной из дуг окружностей. Этот способ аналогичен способу приближения к интегральной кривой уравнения первого порядка при помощи ломаной линии [2].

Положим, что начальные условия для искомой интегральной кривой

Отмечаем точку с координатами и через эту точку проводим направление с угловым коэффициентом

Уравнение (13) дает нам соответствующую величину Отложим отрезок равный и перпендикулярный к направлению и из точки , как центра, опишем небольшую дугу окружности радиуса .

Заметим при этом, что направление отрезка в силу сказанного выше, определится знаком . Если, например, , то движение по дуге окружности от должно происходить по часовой стрелке (рис. 13). Пусть — координаты точки и tg а, — угловой коэффициент касательной к окружности, проведенной в точке

Уравнение (13) даст соответствующую величину Отложим отрезок равный и перпендикулярный к т. е. лежащий на прямой причем направление его определится знаком и из точки как центра, опишем небольшую дугу радиуса Для точки так же, как и для получим из уравнения (13) значение отложим отрезок равный и т. д.

Для указанного построения употребляют линейку, в одном конце которой находится отверстие для карандаша. От этого отверстия вдоль линейки идет прямая линия с делениями, по которой отсчитывается величина R, и имеется небольшой треножник, одно отверстие которого устанавливается в соответствующей величине R точке прямой, а два других — только на бумаге. Передвигая в точках и т. д. треножник вдоль упомянутой прямой в зависимости от изменения величины R, мы не меняем в этих точках направление касательной и получаем таким образом требуемую кривую.

Рис. 13.

Укажем теперь другой способ графического интегрирования уравнения (10), дающий приближенное представление интегральной кривой в виде ломаной линии. Способ этот является обобщением способа, указанного нами на рис. 7. Кроме у, введем еще неизвестную функцию . Вместо одного уравнения второго порядка (10) мы получим тогда систему двух уравнений первого порядка с двумя неизвестными функциями у и

Рис. 14.

Способ, который мы изложим, применим к общему случаю системы двух каких угодно уравнений первого порядка:

при начальных условиях

Ломаные вычерчиваются на плоскости XOY, как для так и для Нанесем, как и в на плоскости XOY прямые параллельные оси причем Отметим точки с координатами Из этих точек проводим лучи с угловыми коэффициентами соответственно пересечения с и пусть точки пересечения. Из этих точек проводим лучи с угловыми коэффициентами до пересечения с прямой и пусть точки пересечения и т. д.

Для ординат и т. д. мы имеем формулы, совершенно аналогичные формулам из [7].