89. Несобственные кратные интегралы.

Переходим теперь к рассмотрению несобственных кратных интегралов и начнем с двойных интегралов. Как и выше, несобственные интегралы могут быть двух типов: или подынтегральная функция становится неограниченной, или сама область интегрирования неограничена. Остановимся сначала на первом случае. Пусть непрерывна в конечной области (а) за исключением точки С, в окрестности которой не ограничена. Пусть (А) — малая область, содержащая С внутри себя. Исключим из (а) ту ее часть, которая принадлежит , а оставшуюся часть обозначим Существует интеграл

Если при беспредельном сужении к точке С этот интеграл стремится к определенному пределу, не зависящему от того, каким именно образом сужается к С, то этот предел и называют несобственным интегралом от по (а) (С может быть и на границе ):

Дальше будем считать (это не существенно), что пробегает пронумерованную последовательность сжимающуюся к С. Точнее говоря: С лежит внутри всех причем принадлежит при любом принадлежит кругу с центром С и радиусом причем при

Положим сначала, что При этом последовательность чисел

не убывает при возрастании и, следовательно, или имеет некоторый конечный предел , или стремится к Покажем, что тоже будет иметь место и для всякой другой последовательности областей, сужающихся к С:

Пусть . При этом и при любом заданном существует такое целое положительное N, что при . Рассмотрим какое-либо . (Существует, очевидно, такое что ) принадлежит так что т.е. при всех . Далее, существует такое N, что при принадлежит и при имеем , откуда и следует, что при .

Совершенно аналогично доказывается, что если для одной ил последовательностей имеем то и для всякой другой последовательности. В первом случае, т. е. если для некоторой последовательности то интеграл по (а) сходится и его величина равна а во втором случае расходится.

Если в окрестности С, то, вынося минус за знак интеграла, придем к предыдущему случаю. Положим теперь, что бывает разных знаков. В этом случае мы будем рассматривать только абсолютно сходящиеся интегралы, т. е. такие интегралы, что

имеет смысл, т. е. сходится. В нем подынтегральная функция уже неотрицательна, и к нему применимы предыдущие замечания. В частности, из этих замечаний следует, что если дне положительные функции, и интеграл от сходится, то интеграл и подавно сходится. Пашу функцию можно представить в виде разности двух положительных функций: Интеграл (в 1) по условию сходится. Тем самым сходится интеграл от функций . Функция равна в тех точках, где и равна нулю, где , т. е. положительная функция следовательно, интеграл от нее тоже сходится. Но тогда сходится и интеграл разности т. е. от Итак, если интеграл (61) сходится, то сходится и интеграл от

Укажем одно достаточное условие сходимости интеграла (61): если в окрестности точки С функция удовлетворяет условию где — расстояние от С до переменной точки — постоянные и то интеграл (61) сходится.

Доказательство этого условия такое же, что и приведенное далее доказательство аналогичного условия для случая неограниченной области интегрирования.

Совершенно аналогичным образом определяется несобственный трехкратный интеграл по конечной области если становится неограниченной в окрестности некоторой точки С, и все предыдущие рассуждения годятся и для такого интеграла. Только высказанное выше достаточное условие абсолютной сходимости интеграла в данном случае формулируется так: если в окрестности тонки С функция удовлетворяет условию , где — расстояние от переменной тонки постоянные и , то интеграл

абсолютно сходится. В данном случае условие заменяется условием так как в полярных координатах в пространстве элемент объема имеет выражение вместо в .

Рассмотрим теперь тот случай, когда область интегрирования простирается в бесконечность во всех направлениях или просто неограничена. Пусть конечная область, содержащаяся в и беспредельно расширяющаяся таким образом, что всякая точка М области попадает, начиная с некоторого этапа расширения, в . Считая непрерывной в , может составить интеграл

Если при беспредельном расширении этот интеграл стремится к определенному пределу, не зависящему от того, каким образом расширяется, то этот предел и называют интегралом от по бесконечной области :

Если для всех достаточно далеких точек М, то интеграл (63) при расширении или имеет определенный предел, или беспредельно возрастает. Для первого случая характерным является тот факт, что интеграл по любой области или даже по конечному числу любых областей, принадлежащих и лежащих вне круга с центром в начале и некоторым радиусом остается ограниченным (при этом он будет стремиться к нулю, если ). Обозначим через (а) совокупность вышеупомянутых областей. Отметим еще, что из определения несобственного интеграла следует, что, если сходится интеграл

то интеграл (64) также сходится. Он называется в этом случае абсолютно сходящимся, и только такие интегралы мы и рассматриваем. Нетрудно доказать следующее достаточное условие сходимости: если для всех достаточно удаленных точек М функция удовлетворяет условию , где — расстояние от любой фиксированной точки (начала) до переменной точки , то интеграл (64) сходится. Пользуясь написанным неравенством и вводя полярные координаты, получим

Совокупность областей обязательно содержится в кольце, ограниченном окружностями , где R может быть сколь угодно большим. Интегрируя но всему кольцу, получим

Принимая во внимание, что получим искомую оценку интеграла по

что и доказывает высказанное выше утверждение. При достаточно большом интеграл по (а) будет сколь угодно малым.

Аналогично определяется несобственный тройной интеграл по бесконечной области. В последней теореме для тройного интеграла условие надо заменить условием Заметим еще, что сказанное выше о несобственных двойных интегралах в случае, когда обращается в бесконечность, применимо и к несобственным интегралам, распространенным по поверхности. Такие интегралы сводятся, как мы видели, к интегралам но плоскости (66).

Мы рассматривали только абсолютно сходящиеся несобственные интегралы. Но имеет место следующая важная теорема: если несобственный интеграл сходится, то он и абсолютно сходится (см. Г. М. Фихтенгольц «Курс дифференциального и интегрального исчисления», т. III). Она относится ко всем упомянутым выше несобственным интегралам. Для случая двойных интегралов из сходимости интеграла (60) следует сходимость интеграла (61) и из сходимости (61) Следует сходимость (65).

Если то для несобственных интегралов неважно, каким образом стягивается к точке С или расширяется. Можно считать, например, что есть круг или сфера с центром С, радиус которой

стремится к нулю, и что есть часть (а), содержащаяся в круге с фиксированным центром, радиус которого беспредельно растет. Если же меняет знак, то мы должны предварительно убедиться в том, что несобственный интеграл сходится, и нельзя доказывать его сходимость при помощи специального выбора областей .

Пользуясь сказанным выше, нетрудно определить понятие равномерной сходимости несобственного кратного сходящегося интеграла, зависящего от параметра. Например, интеграл подынтегральная функция которого зависит от параметра а, назовем равномерно сходящимся относительно а, если при любом положительном существует такое положительное , не зависящее от а, что

если ( - любая часть (а), содержащаяся в круге Аналогично определяется равномерная сходимость и других несобственных интегралов. В частности, из опенки (62) вытекает, что интеграл будет равномерно сходящимся, если числа не зависят от а.

Для равномерно сходящихся интегралов имеют место свойства и признак равномерной сходимости, указанные в [87].

Болес сложными являются несобственные кратные интегралы, в которых подынтегральная функция становится неограниченной не в окрестности некоторой точки, а в окрестности некоторой линии При этом надо исключить эту линию некоторой областью и затем суживать к липни

Можно доказать, что если интеграл по сходится, то он выражается через повторные квадратуры (формула (7) из [59]). Если и повторные квадратуры от нес приводят к конечному числу , то интеграл от по сходится и равен . Если для знакопеременной повторные квадратуры для приводят к конечному числу, то интеграл от по сходится