105. Дополнительные сведения.

Прежде чем переходить к понятию интеграла Лебега, приведем некоторые примеры и дополнительные теоремы.

Пусть эквивалентные функции, непрерывные на некотором замкнутом квадрате или прямоугольнике . Покажем, что их значения совпадают во всех точках . Действительно, если в некоторой точке имеем, например, то в силу непрерывности функций, это неравенство сохранится и в некоторой -окрестности Мера этой окрестности больше нуля, а это противоречит предположенной эквивалентности функций.

Таким образом, понятие эквивалентности функций не имеет смысла в классе непрерывных на функций. Всякая непрерывная на функция строго индивидуальна. Если две непрерывные функции отличаются в одной точке то они отличаются, как мы видели, и на множестве положительной меры из . Совсем иное мы имеем в классе измеримых функций Изменяя произвольным образом значения на множестве меры нуль, мы приходим к функции, эквивалентной Легко видеть, что если эквивалентна эквивалентна то эквивалентна и в классе измеримых на некотором множестве Е функций функции распределяются на группы эквивалентных функций, причем в каждой такой

группе содержится бесчисленное множество функций таких, что значения каждых двух из них отличаются на множестве точек из Е, имеющем меру нуль. Во многих вопросах теории Лебега целесообразно отождествлять все функции одной группы. Отметим еще один факт. Нели функция, непрерывная на некотором замкнутом множестве , имеющем изолированные точки [91], то, меняя значение в изолированной точке, мы, не нарушая непрерывности , получаем функцию, эквивалентную . Укажем примеры измеримых функций. Положим, что непрерывна на А. Нетрудно показать, что множество при любом а замкнуто, откуда следует измеримость . Можно показать, что если принимает на А конечные значения и множество точек разрыва ее непрерывности имеет меру нуль, то измерима на А. Но это условие измеримости является только достаточным. Дадим пример функции одной переменной, определенной на промежутке A и измеримой на нем, причем каждая тонка из А есть точка разрыва непрерывности .

Определим на А — следующим образом: если рациональное число, и если иррациональное число. Счетное множество рациональных точек имеет меру нуль [93], а потому множество иррациональных точек из А имеет меру — единица. Отсюда легко следует, что измеримая функция. Она эквивалентна функции, тождественно равной единице. Но нетрудно видеть, что всякая точка из А есть точка разрыва непрерывности. Действительно, в любой -окрестности находятся как рациональные, так и иррациональные значения т. е. в любой c - окрестности функция принимает как значение 0, так и значение 1, откуда следует, что всякая точка из А есть точка разрыва непрерывности.

Приведем результат Н. Н. Лузина (1913), вскрывающий связь между измеримыми и непрерывными функциями.

Теорема. Пусть определена на измеримом множестве Е конечной меры и принимает почти везде на Е конечные значения. При этом для измеримости необходимо и достаточно следующее: при любом заданном существует такое замкнутое множество принадлежащее что непрерывна на F. Отметим, что в силу .

Сформулируем еще результат Д. Ф. Егорова (1911), устанавливающий связь между сходимостью измеримых функций и их равномерной сходимостью.

Теорема. Пусть последовательное функций, принимающих на измеримом множестве Е конечной меры почти везде конечные значения и сходящаяся почти везде на Е к функции также принимающей на Е почти везде конечные значения. При этом для любого заданного с существует такое

замкнутое множество F, принадлежащее что и сходимость на F равномерная.